Question

已知奇函数f(x)在（-∞，0 ）∪（0，+ ∞)上有意义，且在(0，+ ∞)上是增函数，f(1)=0,又函数g( θ )=

sin^2 θ +mcos θ -2m, θ ∈[0,π/2],若集合M={m/g( θ)＜0},集合N={m/f[g(θ)＜0},求M∪N
M ∩N

Answer 1

解：∵奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（-∞，0）上也是增函数，
又由f（1）=0得f（-1）=-f（1）=0
∴满足 {g(θ)＜0f(g(θ)＜0=f(-1)的条件是 {g(θ)＜0g(θ)＜-1
即 g(θ)＜-1(θ∈(0，π2])，即sin2θ+mcosθ-2m＜-1，
也即-cos2θ+mcorθ-2m+2＜0．
令t=cosθ，则t∈[0，1]，又设δ（t）=-t2+mt-2m+2，0≤t≤1
要使δ（t）＜0，必须使δ（t）在[0，1]内的最大值小于零
1°当 m2＜0即m＜0时，δ（t）max=δ（0）=-2m+2，解不等式组 {m＜0-2m+2＜0知m∈φ
2°当0≤ m2≤1即0≤m≤2时，δ（t）max= m2-8m+84，
解不等式组{0≤m≤2
m2-8m+84
当 m2＞1即m＞2时，δ（t）max=-m+1，解不等式组 {m＞2-m+1＜0得m＜2
综上： M∩N={m|m＞4-22}