Question

若实数x、y满足x^2+y^2=1,则(y-2)/(x-1)的最小值为多少?

Answer 1

方法一：
令（y－2）/（x－1）＝k，则：y－2＝kx－k，∴y＝kx－（k－2）。
又x^2＋y^2＝1，∴x^2＋［kx－（k－2）］^2＝1，
∴（1＋k^2）x^2－2k（k－2）x＋（k－2）^2－1＝0。
∵x是实数，∴需要［－2k（k－2）］^2－4（1＋k^2）［（k－2）^2－1］≧0。

∴k^2（k－2）^2－（1＋k^2）（k^2－4k＋4－1）≧0。
∴k^2（k^2－4k＋4）－（k^2－4k＋3＋k^4－4k^3＋3k^2）≧0，
∴k^4－4k^3＋4k^2－k^2＋4k－3－k^4＋4k^3－3k^2≧0，
∴4k－3≧0，∴k≧3/4。

即：（y－2）/（x－1）的最小值为3/4。

方法二：
将x^2＋y^2＝1看成是一个圆，则圆心坐标是（0，0），半径为1。
令（y－2）/（x－1）＝k，得：y－2＝k（x－1）。
而√［（1－0）^2＋（2－0）^2］＝√5＞1，　∴点（1，2）在圆外。
∴y－2＝k（x－1）是过点（1，2）的切线，切线斜率为k。

设切点坐标为（m，n），则：k＝－m/n。　［切线与过切点的半径垂直］
而k＝（n－2）/（m－1），∴－m/n＝（n－2）/（m－1），∴m－m^2＝n^2－2n，
∴m＋2n＝m^2＋n^2。
切点坐标（m，n）显然是满足圆方程的，∴m^2＋n^2＝1，∴m＋2n＝1，∴m＝1－2n。

∵m^2＋n^2＝1，∴（1－2n）^2＋n^2＝1，∴1－4n＋4n^2＋n^2＝1，∴5n^2－4n＝0，
∴n（5n－4）＝0，∴n＝0，或n＝4/5。

由n＝0，得：m＝1－2n＝1。
由n＝4/5，得：m＝1－2n＝1－8/5＝－3/5。

当m＝1，n＝0时，k不存在，此时的切线与y轴平行，可认为此时的k为无限大。∴应舍去。
当m＝－3/5，n＝4/5时，k＝－m/n＝3/4。

∴（y－2）/（x－1）的最小值是3/4。

Answer 2

当x≠1时设(y-2)/(x-1)=k 即y-2=k(x-1)过定点（1,2）的直线与单位圆相切如图（看不清的话请留言）左、下各一条切线。下面的舍去（k=无限大）左边切线与y=2x和Y坐标轴围成的三角形与左边切线、竖直切线、x坐标轴围成的三角形相似。利用相似求左边切线斜率(图中的<AOD)。tan<AOD=AD/AO=2/1=2∴ k=2 由于点x、y 在圆周上所以不可能同时满足x=1 y=2。最小值为2

Answer 3

x^2+y^2=1是个以原点为圆心，1为半径的圆。