Question

已知复数z=1+i

Answer 1

已知 $z=1+i$，其中 $i$ 是虚数单位，它满足 $i^2=-1$。

我们可以将 $z$ 写成 $z=a+bi$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 分别是 $z$ 的实部和虚部，即 $z$ 可以写成 $z=\operatorname{Re}(z)+i\operatorname{Im}(z)$。对于 $z=1+i$，实部 $a=1$，虚部 $b=1$。因此可以写成 $z=1+1i$。

我们还可以计算 $z$ 的模长和幅角，它们分别为：模长 $|z| = \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，幅角 $\theta = \arctan\frac{1}{1} = \frac{\pi}{4}$。因此 $z=1+i$ 的极坐标形式为$z=\sqrt{2}\operatorname{cis}\frac{\pi}{4}$。

可以进一步计算 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$，它是 $z$ 实部不变、虚部取负的复数。即 $\bar{z}=\operatorname{Re}(z)-i\operatorname{Im}(z)$。对于 $z=1+i$，有 $\bar{z}=1-i$。

可以进行一些基本的运算，例如加减乘除等：加法：$(1+i)+(2+3i)=3+4i$。减法：$(1+i)-(2+3i)=-1-2i$。乘法：$(1+i)\times(2+3i)=-1+5i$。除法：$\frac{1+i}{2+3i}=\frac{1}{13}+\frac{5}{13}i$

复数的乘法

在复数的乘法中，虚数单位 $i$ 满足 $i^2=-1$，因此可以将乘积中的 $i^2$ 替换成 $-1$，然后将 $i$ 与实数部分进行分配律的展开。在进行除法运算时，可以将除数的共轭复数作为分子和分母的乘积进行简化。