Question

已知函数f（x）=logax（a＞0，a≠1），如果对于任意x∈[3，+∞)都有|f（x）|<=1成立，试求a的取值范围

Answer 1

分析：根据对数函数的性质进行解题，在解题过程中注意对a要分a＞1时，|f（x）|=f（x）=logax在[3，+∞）上为增函数和0＜a＜1时f（x）|=-f（x）=-logax在[3，+∞）上为增函数两种情况进行讨论．
解：当a＞1时，对于任意x∈[3，+∞），都有f（x）＞0．
所以，|f（x）|=f（x），而f（x）=logax在[3，+∞）上为增函数，
∴对于任意x∈[3，+∞），有f（x）>=loga3．
因此，要使|f（x）|<=1对于任意x∈[3，+∞）都成立．
只要loga3<=1=logaa即可，∴a>=3．

当0＜a＜1时，对于x∈[3，+∞），有f（x）＜0，
∴|f（x）|=-f（x）．
∵f（x）=logax在[3，+∞）上为减函数，
∴-f（x）在[3，+∞）上为增函数．
∴对于任意x∈[3，+∞）都有|f（x）|=-f（x）≥-loga3．
因此，要使|f（x）|<=1对于任意x∈[3，+∞）都成立，
只要-loga3<=1成立即可，
∴loga3>=-1=loga 1/a，即 1/a>=3，∴ 0<a<=1/3．

综上，使|f（x）|<=1对任意x∈[3，+∞）都成立的a的取值范围是：（0，1/3]∪[3 ，+∞）．

希望能帮到你

Answer 2

解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0.
所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在［3，+∞）上为增函数，
∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥loga3.
因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立.
只要loga3≥1=logaa即可，∴1＜a≤3.
当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0,
∴|f(x)|=-f(x).
∵f（x）=logax在［3，+∞）上为减函数，
∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数.
∴对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|=-f(x)≥-loga3.
因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立，
只要-loga3≥1成立即可，∴loga3≤-1=loga(1/a),即1/a≤3,∴1/3≤a＜1.
综上，使|f(x)|≥1对任意x∈［3，+∞）都成立的a的取值范围是：(1，3］∪［1/3，1）.