Question

一道高中平面向量的题 求详解

给定两个长度为1的平面向量OA OB（有箭头的） 它们夹角120°，C在圆弧AB上变动 若OC=xOA+yOB ，x+y最大值

Answer 1

OA •OB=1*1*cos120°=-1/2
OC²=(xOA+yOB)²
OC²=x²OA²+y²OB²+2xyOA •OB
1=x²+y²-xy
1=(x+y)²-3xy
3xy=(x+y)²-1≤ 3 [(x+y)/2]²
(这里用的是基本不等式xy≤[(x+y)/2]² )
将上式化简得(x+y)²≤4 即x+y≤2
所以x+y的最大值为2

Answer 2

OC=xOA+yOB
OA·OC=xOA²+yOA·OB=x-1/2y
OB·OC=xOA·OB+yOB²=-1/2x+y
OA·OC+OB·OC=1/2(x+y)
cos∠AOC+cos∠BOC=1/2(x+y)
cos∠AOC+cos(120°-∠AOC)=1/2(x+y)
cos∠AOC-1/2cos∠AOC+√3/2sin∠AOC=1/2(x+y)
cos(60°-∠AOC)=1/2(x+y)
当cos(60°-∠AOC)=1，即∠AOC=60°时，x+y最大，为2