Question

如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=根号三，AF平分∠DAB，过点C作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中

如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=根号三，AF平分∠DAB，过点C作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中，正确的是
①AF=FH
②BO=BF
③CA=CH
④BE=3ED（这个我已经证出来了，就不用了）

Answer 1

在Rt△ABD中
AB=1 AD=
由勾股定理可得AC=BD=2
又因为矩形的对角线互相平分
所以OB=OA=OC=OD=1
所以AB=OB=OA=1
所以△AOB是等边三角形
因为AF平分∠BAC
所以∠BAF=∠FAD=45
所以△ABF是等腰直角在角形
所以∠AFB=∠BAF=45
且BF=AB=1
所以BF=OB=1
（2）BE=3ED
证明：因为△AOB是等边三角形
所以△OCD也是等边三角形
又因为CE⊥BD
所以由等腰三角形的三线合一定理可知
点E是OD的中点
又因为O点是BD的中点
所以BE=3ED
（3）CA=CH
证明：因为△AOB是等边三角形
所以∠ABO=60
所以∠OBC=30
所以∠BCE=60
所以∠FCH=120
又因为∠CFH=∠AFB=45
所以在△CHF中
∠H=180 -∠FCH-∠CFH=180 -120 -45 =15
又因为∠FAD=45 ∠CAD=30
所以∠HAC=∠FAD-∠CAD=45 -30 =15
所以CA=CH

Answer 2

解：∵AB=1，AD=3，
∴BD=AC=2，OB=OA=OD=OC=1．
∴OB=OA=OD=OC=AB=CD=1，
∴△OAB，△OCD为等边三角形．
∵AF平分∠DAB，
∴∠FAB=45°，即△ABF是一个等腰直角三角形．
∴BF=AB=1，BF=BO=1．
∴∠FAB=45°，
∴∠CAH=45°-30°=15°．
∵∠ACE=30°（正三角形上的高的性质）
∴∠AHC=15°，
∴CA=CH
由正三角形上的高的性质可知：DE=OD÷2，OD=OB，
∴BE=3ED．
故选D．
2.解：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，∠BAD=∠ABC=90°，AO=OC，OD=OB，AC=BD，
∴AO=OB=OD，
∵AB=1，AD=3，由勾股定理得：AC=2，
∴∠ABD=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=OA=OB，∠BAO=∠AOB=60°，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF=45°，
∵∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠BFA，
∴BF=AB=OB，∴②正确；
∵CE⊥BD，∠DOC=∠AOB=60°，
∴∠ECO=30°，
∵∠FAC=60°-45°=15°，
∴∠H=∠ACE-∠CAF=15°=∠CAF，
∴AC=CH，∴③正确；
∵CF和AH不垂直，∴AF≠FH，∴①错误；
∵∠CEO=90°，∠ECA=30°，
∴OE=12OC=12OD=DE，
BE=3DE，∴④正确．
故答案为：②③④．

Answer 3

②BO=BF③CA=CH④BE=3ED正确