Question

已知实数a,b,c满足a＞b＞c,且有a+b+c=1，a^2+b^2+c^2=1,求证1＜a+b＜4/3

Answer 1

解: a>b>c,且 a+b+c=1,
有 (a+b+c)^2 = 1
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1
1+2ab+2bc+2ac=1
ab+bc+ac=0
而a,b,c不可能同号,因为同号时不可能=0
所以至少有一个数小于0,再由于a>b>c
所以c<0
所以a+b=1-c>1 …………（1）
由a^2+b^2+c^2=1可得:
(a+b)^2 - 2ab+c^2=1
(1-c)^2 - 2ab+c^2=1
2ab=2c^2-2c
ab=c^2-2c
所以有a+b=1-c , ab=c^2-2c
所以方程x^2 + (c-1)x + c^2-2c =0 的两个根为a和b
所以判别式大于0
即 c^2-2c+1-4c^2+8c > 0
解得 -1/3 < c < 1
所以a+b=1-c<4/3 …………（2）
综合（1）、（2）式子得：1<a+b<4/3。

Answer 2

根据基本不等式有：2(a^2+b^2)>(a+b)^2

c=1-(a+b)
2(a^2+b^2)=2-2c^2=2-2[1-(a+b)]^2>(a+b)^2
设a+b=t
2-2(1-t)^2>t^2
3t^2-4t<0
得0<t<4/3

下面考虑t>1
若c>0,则1>a>b>c>0
a^2+b^2+c^2<a+b+c=1矛盾，所以c<0
a+b=1-c>1
综上1<a+b<4/3