Question

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的两个焦点是F1,F2,若在椭圆上存在一点P使得PF1=2PF

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的两个焦点是F1,F2,若在椭圆上存在一点P使得PF1=2PF，则椭圆的离心率的取值范围是
A （0,1/3] B[1/3,1) C[1/3,2/3] D[2/3,1)

Answer 1

解：用极限思考，PF1（最大）=a+c,PF2（最小）=a-c，且这两个可以同时满足，则
a+c≥2（a-c）推出c≥a/3,显然离心率e=c/a≥1/3
又由于椭圆离心率小于1，综合即B[1/3,1)

Answer 2

设PF1=a+eX PF2=a-eX 不妨设F1为左焦点，F2为右焦点
a+eX=2(a-eX) 得X=a/3e 因为 a》X》0 所以 a/3e小于等于a 解得e大于等于1/3
因此椭圆的离心率的取值范围是[1/3,1)

Answer 3

设椭圆(x2/a2) (y2/b2)=1 (a

Answer 4

解：设P点的横坐标为x
∵|PF1|=2|PF2|所以P在双曲线右支（x≥a）
由焦半径公式有.2ex-2a=ex+a
得到ex=3a x=3a/e
因为x≥a，即3a/e≥a
又e>1
∴e的范围为（1，3]