Question

已知函数f(x)=-x^2+ax+1-lnx.(1)若f(x)在(0,1/2)上是减函数，求a的取值范围；(2)

已知函数f(x)=-x^2+ax+1-lnx.(1)若f(x)在(0,1/2)上是减函数，求a的取值范围；(2)函数f(x)是否既有极大值又有极小值？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由。
注意，是-x^2,不是x^2!

Answer 1

(1)
f‘(x)=-2x+a-1/x<0
a<2x+1/x
设g(x)=2x+1/x
g'(x)=2-1/x^2
x∈(0,1/2)
x^2∈(0,1/4)
2-1/x^2<0
所以g(x)单减
g(x)>g(1/2)=3
所以a≤3
(2)
f‘(x)=-2x+a-1/x=(-2x^2+ax-1)/x
令f‘(x)=0
使a^2>=8，a>2√2时，x1,x2都大于0
x1=a/4-1/4*√(a2-8)
x2=a/4+1/4*√(a2-8)
x<x1或x>x2时，f'(x)<0,f(x)单减
x1<x<x2时，f'(x)>0,f(x)单增
所以即存在a>2√2
x=x1时，有极小值
x=x2时，有极大值
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