Question

数列Cn=[(n+1)^2+1]/[n(n+1)*2^(n+2)],Sn是其前n项和，求证：5/16<=Sn<1/2

Answer 1

（(n+1)^2+1]/n(n+1)=(n²+2n+2)/(n²+n)=1+(n+2)/(n²+n)=1+1/(n-1+2/(n+2))
=1+1/((n+2)+2/(n+2)-3)
(n+2)+2/(n+2)是个对钩函数，最低点是(n+2）=2/(n+2)此时n解出来小于0
所以(n+2)+2/(n+2)是个单调递增函数最小值n=2 所以原式最大值9/2(我令n>=2)
so
1+1/((n+2)+2/(n+2)-3)《5/3（n》2）
n=1时
原式=5/2x1/8=5/16
所以s1=5/16《sn
当n》2时
sn=s1+（c2+。。。。。。cn）
<5/16+5/3（1/16+1/32+。。。。。。。。。。。。。1/2^（n+2））<5/16+5/3x1/8=20/48<1/2

Answer 2

5/16+5/3x1/8=25/48>1/2！我也尝试过这种方法，都试到c4去了，就是想放大得小点，结果还是大于1/2