Question

设Q是有理数集，集合X={X|a+b根号2，a,b属于Q，x≠0|,集合A={1/x|x∈X} 问集合A与集合X是否相同？

设Q是有理数集，集合X={X|a+b根号2，a,b属于Q，x≠0|,集合A={1/x|x∈X}
问集合A与集合X是否相同？
我知道不相同 但是想证明出来为什么 一直用公式证不出来~
希望有人可以帮忙证明下~

Answer 1

不相同。
这个问题就是证明X中的元素都不是有理数。而a+b根号2明显不是有理数，这根据定义就能知道。

追问

额 那1/x也有可能不是有理数额...?

追答

能被表达成分数形式的数一定是有理数。
楼下误人子弟，另外三个都属于x。

Answer 2

集合A={1/x|x∈X}={x|x=1/(a+b√2)}={x|x=a/(a^2-2b^2)-b/(a^2-2b^2)√2},因为a,b都是有理数，所以
a/(a^2-2b^2)与b/(a^2-2b^2)都是有理数，即a/(a^2-2b^2)-b/(a^2-2b^2)√2还是属于X.所以这两个集合是相同的。

追问

额 我看懂了 那我想问下
在集合B={2x|x∈X}，集合C={x/根号2|x∈X} 集合D={x的平方|x∈X}中有哪一个是不等于集合X的呢？
因为这道题的原题是 在集合ABCD中有几个是属于X的，答案是3个，而我觉得这三个都是的，所以不太明白。麻烦了~

追答

题中应是b≠0吧？
对于B,设x=a+b√2,则2x=2a+2b√2∈X,
对于C，设x=a+b√2,则x/2=(a+b√2)/√2=b+(a/2)√2∈X,
对于C，设x=a+b√2,则x^2=(a+b√2)^2=(a^2+2b^2)+2ab√2∈X,
所以，四个都是的。

追问

题目中是x≠0 额..

Answer 3

是相同的 但是D不相同 因为x的平方大于等于0，但是集合X中x不等于0

Answer 4

不相同