Question

反常积分的几道题

一、∫dx/( ▏x－x²▏ )½ 上限是3/2，下限是1/2
分母即根号下（x－x²）的绝对值
二、∫dx/[﹙x＋7﹚﹙x－2﹚½] 上限是＋∞，下限是2
三、∫dx/x(x²－1)½ 上限是＋∞，下限是1
请写过程，非常感谢

Answer 1

1.原式=∫[1/2->1] dx/√(x(1-x)) + ∫[1->3/2] dx/√(x(x-1))
左边的积分，设√x=cost, 这样√(1-x)就=sint,x=cos²t,dx=-2costsintdt,x∈(1/2->1),则t∈(π/4->0),
右边的积分，设√x=sect, 这样√(x-1)就=tant,x=sec²t,dx=2sec²ttantdt,x∈(1->3/2),
则t∈(0->arccos√6/3),
原式=∫[π/4->0] -2dt + ∫[0->arccos√6/3] sectdt
= π/2+ln|sect+tant| | [0->arccos√6/3]=π/2+(√6+√2)/2 - 1

2.设√(x-2)=3tant,这样√(x+7)=3sect,x=9sec²t-7,dx=18sec²ttantdt,x∈(2->+∞),则t∈(0->π/2),
原式=∫[0->π/2] 2 dt=π

3.令x=sect,dx=secttantdt,x∈(1->+∞),则t∈(0->π/2),
原式=∫[0->π/2] 1 dt=π/2

追问

1、ln|sect+tant| | [0->arccos√6/3]这一串是怎么算出得(√6+√2)/2 - 1？
不过这题书上答案是π/2+ln(2+根号3)
2、根据你设的，算完是π/3，你可能打错了O(∩_∩)O~
怎么想到要设根号（x-2)为3tant呢？
非常感谢

追答

1.上面的算错了，看掉了个ln,
当t=0时,ln|sect+tant|=0;
当t=arccos√6/3,cost=√6/3,sint=√[1-(√6/3)²]=√3/3,sect=3/√6,tant=√3/√6,
ln|sect+tant|=ln|(3+√3)/√6|=ln((√6+√2)/2)
2.见http://tieba.baidu.com/p/781626702

Answer 2

??什么意思？？