Question

已知点p(x,y)是椭圆x^2/4+y^2=1上的动点，（1）求z=x^2+y^2的最值 （2）求t=zx+y

希望能给我提供详细的解答过程，我在此先提前感谢咯！

Answer 1

设P(acosθ,bsinθ),则|AP|²=(acosθ-m)²+(bsinθ)²
=m²-amcosθ+a²cos²θ+b²sin²θ=c²cos²θ-amcosθ+m²+b²=f(cosθ),
∵ cosθ∈[-1,1], 对称轴cosθ=am/2c²(其中c²=a²-b²).
① 若am/2c²<-1,即m<-2c²/a时f(cosθ)在[-1,1]上是增函数,
|AP|²(最小值)=f(-1)=a²+am+m².
② -1≤am/2c²≤1,即-2c²/a≤m≤2c²/a时,
|AP|²(最小值)=f(am/2c²)=b²(c²-m²)/c².
③ 若am/2c²>1,即m>2c²/a时f(cosθ)在[-1,1]上是减函数,
|AP|²(最小值)=f(1)=a²-am+m².
|AP|²的最小值一经确定,|AP|的最小值随之而定.

Answer 2

设P(2cosa，sina)，则 z=4(cosa)^2+(sina)^2=1+3(cosa)^2
所以 1<=z<=4.
(cosa=0即P(0，±1)时，z最小为1；cosa=±1即P（±2，0）时，z最大为4）