Question

设A是m*n矩阵，若存在非零的n*s矩阵B，使得AB=O，证明秩r(A)<n

Answer 1

因为A是m*n矩阵，则r(A)<=n
假设r(A)=n，则方程AX=0只有零解（因为其解空间的维数=n-r(A)=0）
又AB=O，则对于B的每个列向量b，均有Ab=O
即b为方程AX=0的解，故b=O，从而B=O
与条件B非零矛盾，假设不成立，r(A)<n

Answer 2

证明: 因为 AB = 0
所以 r(A)+r(B)<=n.
又因为 B≠0
所以 r(B)>=1
所以 r(A) <= n- r(B) <= n-1 < n
即有 r(A) < n #