Question

若a,b是正数,且a不等于b,试比较b/a^2+a/b^2与1/a+1/b的大小

Answer 1

左边：b/(a^2)+a/(b^2)=b^3/(a^2*b^2)+a^3/(a^2*b^2)=(a^3+b^3)/(a^2*b^2)
右边：1/a+1/b=(a+b)/ab=(a+b)*ab/(ab*ab)=(a+b)*ab/(a^2*b^2)
比较左右和右边，因为分母相同，如果分子大则分数大，分子小则分数小。所以：
左边：a^3+b^3=(a+b)*(a^2-ab+b^2)
右边：(a+b)*ab
因为a,b是正数，所以，左右两个各除一个正数，(a+b)，不影响等式。则：
左边：a^2-ab+b^2
右边：ab
用左边减去右边，如果结果大于0，则左边大，如果小于零则左边小，如果等于0则两等式相等
a^2-ab+b^2-ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
因为a不等于b，所以=(a-b)^2一定大于0，所以结论是左边大，即b/a^2+a/b^2 > 1/a+1/b

Answer 2

左边：b/(a^2)+a/(b^2)=b^3/(a^2*b^2)+a^3/(a^2*b^2)=(a^3+b^3)/(a^2*b^2)
右边：1/a+1/b=(a+b)/ab=(a+b)*ab/(ab*ab)=(a+b)*ab/(a^2*b^2)
比较左右和右边，因为分母相同，如果分子大则分数大，分子小则分数小。所以：
左边：a^3+b^3=(a+b)*(a^2-ab+b^2)
右边：(a+b)*ab
因为a,b是正数，所以，左右两个各除一个正数，(a+b)，不影响等式。则：
左边：a^2-ab+b^2
右边：ab
用左边减去右边，如果结果大于0，则左边大，如果小于零则左边小，如果等于0则两等式相等
a^2-ab+b^2-ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
因为a不等于b，所以=(a-b)^2一定大于0，所以结论是左边大，即b/a^2+a/b^2 > 1/a+1/b