Question

如图1，在RT三角形ABC中，角BAC=90，AD垂直BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE垂直OB交BC边

1.证明△ABF相似△COE
2.当当O为AC边中点，且AB=AC,如图2，求证：BF-2OF
3.当O为AC边中点,且AC\AB=2，如图3，求OF\OE的值
最好是3种方法

Answer 1

（1）∵AD⊥BC
∴∠DAC+∠C=90度
∵∠BAC=90°
∴∠BAF=∠C
∵OE⊥OB
∴∠BOA+∠COE=90°
∵∠BOA+∠ABF=90°
∴∠ABF=∠COE
∴△ABF∽△COE 。
（2）作OG⊥AC，交AD的延长线于G
∵AC=2AB，O是AC边的中点
∴AB=OC=OA
由（1）△ABF∽△COE
∴△ABF≌△COE，
∴BF=OE。
（3）解法1：
∵∠BAD+∠DAC=90°， ∠DAB+∠ABD=90°
∴∠DAC=∠ABD
又∠BAC=∠AOG=90°， AB=OA
∴△ABC≌△OAG
∴OG=AC=2AB
∵OG⊥OA
∴AB∥OG
∴△ABF∽△GOF
∴ OF/BF=OG/AB
OF/OE=OF/BF=OG/AB=2。
（3）解法2：
过O作AC垂线并交BC于H
∵∠AFB=∠OEC
∴∠AFO=∠HEO
∵∠BAF=∠ECO
∴∠FAO=∠EHO
∴△OEH∽△OFA
∴OF：OE=OA：OH=2：1
故 OF：OE=2
希望对你有所帮助，祝你学习进步！

追问

第二题喃，第二题是证明BF=2OF,我知道有个是连接ad,不知怎样做

追答

第二题是：当O为AC边中点，且AB=AC,证明BF=2OF
（我题目看错了：AC=2AB）
下面是证明：
延长FD到G，使DG=FD,连接BG、GC、FC
∵BD=DC，FD=DG
∴BGCF是菱形，
∴BO‖CG BF=CG
在△AGC中，
∵O是AC的中点，FO‖CG，
∴FO是△AGC的中位线，即OF=1/2CG
∴ BF=CG=2OF
实际上这个就是证明：三角形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1
祝你学习进步！

Answer 2

1.证明:∠BOE=90° ,则∠COE+∠AOB=90° ;
又∠ABF+∠AOB=90° ,得:∠COE=∠ABF;
又∠C=∠BAF(均为∠ABD的余角),故:△ABF相似△COE.
2.证明:AB=AC,AD垂直BC,则BD=CD.
延长FO到M,使OM=OF,连接CM;又OA=OC,∠AOF=∠COM.
则⊿AOF≌ΔCOM,得∠AFO=∠M.
故:AF∥CM,BF/FM=BD/DC=1,得BF=FM=2OF.
3.证明:设AB=1,则AC=2,BC=√5.
由面积关系知,BC*AD=AB*AC,√5*AD=1*2,AD=√5/2;CD=√(AC^2-AD^2)=√11/2;BD=√5-√11/2.
⊿ABF∽⊿COE,则OF/OE=AB/CO=1,故⊿ABF≌ΔCOE,BF=OE.
作OH垂直BC于H,AO=CO,则DH=CH=√11/4,AD∥OH.
故:OF/OE=OF/BF=DH/BD=(√11/2)/(√11/4)=2/1=2.

追问

哪里有角m?又杂个证明△AOF全等于△com ， 没得△com 这个三角形

追答

点M是延长延长FO到得的,自己根据我的叙述画出示意图就明白了.

Answer 3

1、
∵ AD⊥BC
∴ ∠ BAD=∠BCA
∵ AD⊥BC,BO⊥OE
∴ ∠ ABF=∠COE
∴ ΔABF∽ΔCOE
2、∵AC：AB=2
∴ ∠ABF=∠COE=∠BOA=45°
O为AC边中点,即OC=AB
在三角形OEC中，作EM⊥OC，交点为M
在三角形ABF中，作FP⊥AB交于AB于P
在三角形AFO中，作FN⊥AO交于AO于N
则ΔBPF ≌ΔOME
∴ OE:OF=BF:OF
∵ ΔBPF∽ΔFNO
∴ BF:OF=PF:NO=PF:FN
∵ ∠PAF=∠ACB
∴ PF:FN=AB:AC=1:2
∴ OF:OE=2
3、OF:OE=(n^3)/4
证明:

在三角形OEC中，作EM⊥OC，令EM=X，AB=a

作FN⊥AO交于AO于F

则CM=nX，EC=√(n^2+1)X

OM=OC-CM=nX/2-nX

BE=BC-CE=√(n^2+1)a-√(n^2+1)X

OB=√(AB^2+OA^2)=√(n^2+4)/2

由OE^2=BE^2-OB^2=OM^2+EM^2解得：

X=an^2/[2(n^2+2)]

∵ ΔABF∽ΔCEO

∴ OE:BF=OC:AB=EC:AF，可推得：BF:OF=AB:FN-1

BF=OE*EC:AF

∴ OE:OF=(AB:FN)*(AF:EC)-AF:EC

∵ AF:FN=BC:AC

∴ OE:OF=(BC:AC)*(AB:EC)-AF:EC=(AB:AC)*(BC:EC)-AF:EC

∵ AF:EC=AB:OC

∴ OE:OF=(AB:AC)*(BC:EC)-AB:OC

=(1:n)*(BC:EC)-2/n

∵ EC:BC=EM:AB=X:a

∴ OE:OF=(1:n)*(a/X)-2/n

将X=an^2/[2(n^2+2)]代入上式可得；OF:OE=n^3/4

当n=2时，OF:OE=8/4=2