Question

在RT△ABC中,∠C=90°,D是BC的中点,DE⊥AB于E,求证AE^2=AC^2+BE^2

如题，在RT△ABC中,∠C=90°,D是BC的中点,DE⊥AB于E,求证AE^2=AC^2+BE^2

Answer 1

连接AD
BE^2=BD^2-DE^2
∵D是BC中点
∴CD=BD
∴BE^2=CD^2-DE^2
∴BE^2=（AD^2-AC^2）-（AD^2-AE^2)
∴BE^2=AE^2-AC^2
∴AE^2=AC^2+BE^2

勾股定理来回倒腾

Answer 2

过C作CF垂直AB交AB于F，则
AC^2=AF*AB (射影定理)
=(AE-FE)(AE+EB)
因为D是BC的中点,DE⊥AB于E，所以
EB=EF
从而
AC^2=(AE-FE)(AE+EB)
=(AE-BE)(AE+EB)
=AE^2-BE^2
所以
AE^2=AC^2+BE^2.

Answer 3

AE^2+DE^2=AC^2+CD^2=AC^2+BD^2,则AE^2=AC^2+BD^2-DE^2==AC^2+BE^2