Question

化简：[1/（2+√2）]+[1/(3√2+2√3)]+[1/(4√3+3√4)]+……+[1/(10√9+9√10)]

化简式子，/是除号，√是根号。怎么化简，还有过程，谢。
化简这个式子：
[1/（2+√2）]+[1/(3√2+2√3)]+[1/(4√3+3√4)]+……+[1/(10√9+9√10)]

我把它化到[（2-√2）/2]+[（3√2-2√3）/6]+……
前面的分母比较小，而且容易消去一些数，但发现不了什么规律？？？？真的要挨个挨个去算吗？

Answer 1

分母有理化
1/（2+√2）=（2-√2）/（2+√2）（2-√2）=（2-√2）/2
1/（3√2+2√3）=（3√2-2√3）/（3√2-2√3）（3√2+2√3）=（3√2-2√3）/6

以此类推
最终的结果为：（10-√10）/10

如果有问题，请追问。
不需要挨个算
第一个括号结果：（2-√2）/2
第二个括号结果加第一个括号结果：（2-√2）/2+（3√2-2√3）/6=（3-√3）/3
发现规律了吧，所以最后的结果我不是算出来的，而是推出来的。

第三个肯定是（4-√4）/4

追问

第三个肯定是（4-√4）/4 是指什么？是（3-√3）/3加上第三个括号的结果吗？

追答

嗯，是这样的。

Answer 2

将分母消去，然后从第一个分式开始，两个两个地约分，然后第一个分式的第二个根号会和第二个分式的第一个根号消去，就这样一直到最后一个式子，就这么简单，你自己做做看吧

Answer 3

1/(2+√2)=1/[(2+√2)(2-√2)]=1/2*(2-√2)=1-√2/2;
1/(3√2+2√3)=√2/2-√3/3
.........
1/(2+√2)+1/(3√2+2√3)=1-√2/2+√2/2-√3/3=1-√3/3
........
[1/（2+√2）]+[1/(3√2+2√3)]+[1/(4√3+3√4)]+……+[1/(10√9+9√10)]=1-√10/10