Question

高中数学题求值域！

y=√（4x-x^2）的值域是多少？怎么求的？求过程

Answer 1

假设f(x)=4x-x^2=-(x^2-4x+4-4)
=-(x-2)^2+4<=4
另外在绝对值里面的数是正数，所以f(x)>=0
因此0<=f(x)<=4
所以，0<=y<=√4=2

值域是：0<=y<=2
望采纳

Answer 2

f(x)=2x-√(4x-x^2)
=2x-√(4-(x-2)^2)
又4x-x^2>=0
=>x(x-4)<=0
=>0<=x<=4
令x=2*sinA+2 （-90<=A<=90)

则f(x)=2x-√(4-(x-2)^2)
=4+4sinA-√(4-4sinA^2)
=4+4sinA-2cosA (i)

设cosB=2/√5,sinB=1/√5,0<B<30
4sinA-2cosA
=2√5(2/√5*sinA-1/√5*cosA)
=2√5*(sinA*cosB-cosA*sinB)
=2√5*sin(A-B) (ii)

因为-90<=A<=90
=>-90-B<=A-B<=90-B
sin(A-B)>=-1
sin(A-B)<=sin(90-B)=cosB=2/√5

=>-2√5<=2√5*sin(A-B)<=2/√5*2√5=4 (iii)
(i)(ii)(iii)
=>4-2√5<=f(x)<=4+4=8
因此有
f(x)∈[4-2√5,8]

Answer 3

对根号内配方
y=√（4x-x²）
=√[-(x-2)²+4]
由于-(x-2)²≤0所以-(x-2)²+4≤4
则于-(x-2)²+4在根号内，所以-(x-2)²+4≥0
所以0≤-(x-2)²+4≤4
再开方就得0≤y≤2
值域为[0，2]

Answer 4

[0,2]
4x-x^2>=0
x^2-4x=<0
x(x-4)=<0
0=<x=<4
f(x)=4x-x^2
f(x)'=4-2x
x=2取极大值4
0=<f(x)=<4,在0，4处取极小值0
综上值域[0,2]

Answer 5

大框架：先看定义域，然后在求值域。
小框架：求出定义域的话先看根号里面表达式的值域，再开方即可。

Answer 6

解:显然y>=0,而取x=0时y=0，所以y的最小值为0；
设f(x)=4x-x^2,则f(x)=-x^2+4x-4+4=-(x-2)^2+4<=4,
y=√f(x)<=√4=2,而取x=2时y=2，所以y的最大值为2；
又因为√(4x-x^2)这个函数是连续的，所以区间[0，2]中所有的直均可取到，
所以y=√（4x-x^2）的值域为[0，2].