Question

A为n阵，|A|=0，Aki≠0,方程AX=0,求X的通解！

Aki是指矩阵A的任意代数余子式不等于0
（那个ki是右下角的元素，表示k行i列的意思 ）
书写问题，不好意思！

Answer 1

具体回答如下：

AA* = |A|E = 0

可得：A* 的列向量都是AX=0的解

A* 的第k列 (Ak1,...,Akn)' 是AX=0 的非零解

因为： |A|=0 , 所以 r(A)=n-1

所以：r(A) = n-1

AX=0 的基础解系含n - r(A) = n - (n-1) = 1 个解向量

所以 AX=0的通解为 c (Ak1,...,Akn)'，c为任意常数。

求通解：

对于一个微分方程而言，其解往往不止一个，而是有一组，可以表示这一组中所有解或者部分解的统一形式，称为通解。

对一个微分方程而言，它的解会包括一些常数，对于n阶微分方程，它的含有n个独立常数的解称为该方程的通解。

Answer 2

由 AA* = |A|E = 0
所以 A* 的列向量都是AX=0的解
特别是 A* 的第k列 (Ak1,...,Akn)' 是AX=0 的非零解.

又由 |A|=0 , 所以 r(A)<n.
而 Aki≠0, 所以 r(A)>=n-1
故 r(A) = n-1.

所以 AX=0 的基础解系含 n - r(A) = n - (n-1) = 1 个解向量.
所以 (Ak1,...,Akn)' 是AX=0 的基础解系.
所以 AX=0的通解为 c (Ak1,...,Akn)', c为任意常数.

追问

我就问一下哈，不错，K列绝对是它的一个非零解，进而成为它的通解。
但是也不排除其他列也可能存在其解的可能对吧！因为不一定A*其他列的元素都为0哈！

追答

是的.
但已知条件只告诉我们 第k列 是非零向量, 那我们只好用它了.