设a.b.c是不全相等的正数,求证a+b+c大于根号下ab+根号下bc+根号ca
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2011-09-04 · 知道合伙人教育行家
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∵a.b.c是正数
∴(√a-√b)^2 ≥ 0,(√b-√c)^2 ≥ 0,(√c-√a)^2 ≥ 0
又:a.b.c不全相等
∴(√a-√b)^2 ,(√b-√c)^2,(√c-√a)^2 不同时为零
∴(√a-√b)^2 +(√b-√c)^2 +(√c-√a)^2 >0
∴a+b-2√(ab) + b+c-2√(bc) + c+a-2√(ca) >0
∴2a+2b+2c>2√(ab) +2√(bc) + 2√(ca)
∴a+b+c>√(ab) +√(bc) + √(ca)
∴(√a-√b)^2 ≥ 0,(√b-√c)^2 ≥ 0,(√c-√a)^2 ≥ 0
又:a.b.c不全相等
∴(√a-√b)^2 ,(√b-√c)^2,(√c-√a)^2 不同时为零
∴(√a-√b)^2 +(√b-√c)^2 +(√c-√a)^2 >0
∴a+b-2√(ab) + b+c-2√(bc) + c+a-2√(ca) >0
∴2a+2b+2c>2√(ab) +2√(bc) + 2√(ca)
∴a+b+c>√(ab) +√(bc) + √(ca)
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a+b≥2√(ab)(当且仅当a=b时等号成立)
在此题中a.b.c是不全相等的正数
因此a+b>2√(ab)
1/2(a+b)>√(ab)
同理
1/2(a+c)>√(ac)
1/2(b+c)>√(bc)
三式相加得
a+b+c>√(ab)+√(bc)+√(ac)
在此题中a.b.c是不全相等的正数
因此a+b>2√(ab)
1/2(a+b)>√(ab)
同理
1/2(a+c)>√(ac)
1/2(b+c)>√(bc)
三式相加得
a+b+c>√(ab)+√(bc)+√(ac)
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a+b+c=1/2[(a+b)+(b+c)+(c+a)】>1/2(2根号下ab+2根号下bc+2根号下ca)=根号下ab+根号下bc+根号ca
suoyi a+b+c大于根号下ab+根号下bc+根号ca
suoyi a+b+c大于根号下ab+根号下bc+根号ca
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首先,设a
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