Question

调和级数是发散的，但是 n平方分之1 这个级数为什么就收敛啊 怎么证明？？？？

Answer 1

级数∑1/n^2的前n项和sn=1+1/2^2+1/3^2+……+1/n^2是递增的；

且sn<1+1/2+1/（2×3）+1/（3×4）+……+1/［n（n-1）］=2-1/n<2，故sn有界。

由单调有界定理，{sn}存在极限，所以级数∑1/n^2收敛。事实上，级数∑1/n^2收敛于π^2/6。

利用函数的面积进行理解，求两个函数从一到无穷大与x轴围成的面积，发现一个可求，一个不可求，就可得一个发散，一个收敛。

函数收敛

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f（x）在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0，存在c>0，对任意x1，x2满足0<|x1-x0|<c，0<|x2-x0|<c，有|f（x1）-f（x2）|<b。

收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1（x）， u2（x） ，u3（x）……至un（x）。…… 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）+……+un（x）+……⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。

Answer 2

级数∑1/n^2的前n项和sn=1+1/2^2+1/3^2+……+1/n^2是递增的，且sn<1+1/2+1/(2×3)+1/(3×4)+……+1/[n(n-1)]=2-1/n<2，故sn有界。由单调有界定理，{sn}存在极限，所以级数∑1/n^2收敛。事实上，级数∑1/n^2收敛于π^2/6

Answer 3

收敛的