Question

一的三次方加二的三次方加三的三次方一直加到N的三次方等于多少？（用数列求）有会的没?帮一下啦！

Answer 1

1^3+2^3+.....+n^3=n^2(n+1)^2/4=[n(n+1)/2]^2

推导过程：
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1

各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n

4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
因此1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

注：本题的思路是降次的使用，求n个数的三次方的和是利用相临的二个数的四次方相减，中间有一步是要用到n个数的平方和公式：1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，这个公式和求三次方的和是一样，也是利用相临的二个数的立方相减来得到的，你可以自己利用求n个数的三次方的和是利用相临的二个数的四次方相减来求出