Question

高中数学题，解析几何，高分在线等

直线l过点M(2,1),分别交x轴、y轴于A，B。求：当MA*MB取最小值时，直线l的方程。

Answer 1

直线L过点M(2,1),且分别与x轴.y轴交于A.B两点,
直线斜率存在,设为k,L的直线方程y-1=k(x-2)
分别与x轴.y轴交于A(x,0).B(0,y)两点:
0-1=k(x-2)→x-2=-1/k,→x=(2k-1)/k,A((2k-1)/k,0)
y-1=k(0-2)→y-1=-2k,→y=1-2k,B(0,1-2k)
|MA|=√{[((2k-1)/k-2]^2+(0-1)^2}=√(1+k^2)/｜k｜
|MB|=√[(0-2)^2+(1-2k-1)^2]=2√(1+k^2)
|MA|·|MB|=[√(1+k^2)/｜k｜]*[2√(1+k^2)]=
2(1+k^2)/｜k｜=2[(1/｜k｜)+｜k｜]≥2*2(1/｜k｜)*｜k｜=4
|MA|·|MB|最小为4,此时｜k｜=1/｜k｜,k=±1
直线方程y-1=(x-2)或y-1=-(x-2),即
x-y-1=0或x+y-3=0

追问

直线方程y-1=k（x+2）中 ，无论k取何值也无法表示过点（-2,1）的直线L，求直线L的方程。

追答

说明直线斜率不存在，是x=-2

Answer 2

y-1=k(x-2)
y=kx-2k+1
x=0 y=1-2k
y=0 x=(2k-1)/k
A((2k-1)/k,0)B(0,1-2k)
M(2,1),
MA=(-1/k,-1)
MB=(-2,-2k)
MA*MB=2/k+2k=2(1/k+k)
1)k>0
MA*MB=2/k+2k=2(1/k+k)≥2*2=4
MA*MB取最小值4
1/k=k
k=1
2)k<0
2(1/k+k)=-2(-1/k-k)≥-2*2=-4
MA*MB取最小值-4
-1/k=-k
k=-1
∴y=x-1
y=-x+3