Question

已知f(x)是二次函数，f'(x)是它的导函数，且对任意的x属于R，f'(x)=f(x+1)+x的平方，恒成立。

已知f(x)是二次函数，f'(x)是它的导函数，且对任意的x属于R，f'(x)=f(x+1)+x的平方，恒成立。求f(x)的解析式

Answer 1

因为f（x)为二次函数，故f'(x)为一次函数，又f'(x)=f(x+1)+x的平方，故f（x+1）中一定含有负x的平方，令f（x+1）=负x的平方+ax+b，则f（x）=负（x-1）的平方+a（x-1）+b，则f'(x)=-2（x-1)+a。
又f'(x)=f(x+1)+x的平方=ax+b，由-2（x-1)+a=ax+b （恒等式）得：a=-2，a+2=b，故b=0，故
f（x）=负（x-1）的平方-2（x-1）=1-x的平方

Answer 2

令f(x)=a*x^2+b*x+c;f'(x)=2*a*x+b;
由f'(x)=f(x+1)+x的平方，得
f'(x)=2*a*x+b=a*(x+1)^2+b*(x+1)+c+x^2=(a+1)*x^2+(2*a+b)*x+a+b+c;
so,a+1=0;2*a=2*a+b,b=a+b+c;
a=-1;b=0;c=1