Question

已知函数f(x)=根号x，g(x)=alnx,a属于R，若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，

求切线方程

Answer 1

1. 因为两曲线在交点处有相同切线，所以两函数在交点处的导数相等
f’(x)=1/2根号下x ，g’(x)=a/x
令f’(x)=g’(x)得 a=（根号下x）/2，代入原函数，令f(x)=g(x)解得x=e^2
所以交点坐标为（e^2,e）
该点导数即斜率为1/（2e）
切线：y-e=1/（2e）·（x-e^2）
即 y=1/（2e）·x+e/2
2。对h(x)求导，令h’(x)=0解得x=4a^2
所以当x<4a^2时，h’(x)<0,函数h(x)单调递减
当x>4a^2时，h’(x)>0,函数h(x)单调递增
所以，在x=4a^2处h(x)取得最小值
代入求得q(x) =2a【1-ln（2a）】
这里，在求h(x)存在最小值时要注意a的范围，若a<0 则h(x)为单调递增函数，此时根据原函数定义域判断是否存在最小值（若定义域为闭区间或左闭右开区间，则代入x最小值求得q(x) 否则无最小值）

Answer 2

f(x)=√x=x^(1/2) f'(x)=(1/2)x^(-1/2) g(x)=alnx g'(x)=a/x 设曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的交点P坐标为(m，n) 则f(m)=g(m)=n ① f'(m)=g'(m) ②由②得： (1/2)m^(-1/2)=a/m m^(-1/2)=2a/m 1/m=4a²/m² m=4a² 把m=4a²代人②，得 (1/2)(4a²)^(-1/2)=a/(4a²)>0 即1/(4a)>0 得：a>0 把m=4a²代人①，得： n=√(4a²)=2a 则aln(4a²)=2a 2aln(2a)=2a ln2a=1 2a=e a=e/2 ∴m=4a²=4(e/2)²=e² n=2a=2a=2(e/2)=e 点P坐标为(e²，e) 点P处的切线斜率为： f'(m)=a/m=a/(4a²)=1/(4a)=1/(2e) 点P处的切线方程为：y-e=[1/(2e)](x-e²) 即：y=[1/(2e)]x+e/2 希望可以帮助你！