Question

设f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在[0，7]上，只有f(1)=f(3)=0.

（1）判断y=f(x)的奇偶性
（2）求方程f(x)=0在[-2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论。

Answer 1

f(7-5-x)=f(7-(5+x))=f(12+x)
同时f(7-5-x)=f(2-x)=f(2+x)
x是以10为周期的，所以(-3,7）区间为一个周期，其中以x=2为对称轴
如果是奇函数或者偶函数，一定有f(-1)=0,关于2对称得f(5)=0，与条件不符
所以是非奇非偶函数
由于是周期函数，有f(2+10*n+1)=0,f(2+10*n-1)=0,n为任意整数，
所以在（-2005，2005）之间有802个根

Answer 2

偶函数.
根的话结合图像可以做
f(a-x)=f(a+x)可以推出f(x)关于x=a对称的
再结合偶函数的条件就可以做了。。。

Answer 3

f(a)=f(4-a)
f(-a)=f(4+a)
所以非奇非偶

由于关于x=2以及x=7对称，所以每10个单位区间就有两个根，所以一共有
4*（200+200+1）=802个根