Question

已知3/1≤a≤1，若f(x)=ax的平方-2X+1，

在区间【1,3】上的最大值为M(a),最小值为N(a)，令g(a)=M(a)-N(a），求g(a)的函数关系求g(a)的函数关系

Answer 1

解：由题意a>0可知二次函数f(x)的图像（抛物线）开口向上，
且其对称轴为x=a分之1
因为 3分之1≤a≤1，所以1≤a分之1≤3
又f(x)=a(x- a分之1)²+1- a分之1
则当x=a分之1时，函数在区间[1,3]上有最小值N(a)=1- (a分之1)
以下讨论最大值的情况：
1.若1≤a分之1<2即 2分之1<a≤1，则当x=3时，函数f(x)有最大值M(a)=9a-5
2.若2<a分之1≤3即 3分之1≤a<2分之1，则当x=1时，函数f(x)有最大值M(a)=a-1
3.若a分之1=2即a＝2分之1，则当x=1或3时，函数f(x)均取得最大值－2分之1
所以可用分段函数来表示g(a)的函数关系式：
{ 9a-5-[1- (a分之1)]=9a-6 +(a分之1) 2分之1<a≤1
g(a)=M(a)-N(a）=｛2分之1 a=2分之1
｛a-1-[1- (a分之1)]=a-2+(a分之1) 3分之1≤a<2分之1

Answer 2

{ 9a-5-[1- (a分之1)]=9a-6 +(a分之1) 2分之1<a≤1
g(a)=M(a)-N(a）=｛2分之1 a=2分之1
｛a-1-[1- (a分之1)]=a-2+(a分之1) 3分之1≤a<2分之1