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以下把回答“利用sin(iπ/n)/(n+1)<=sin(iπ/n)/(n+1/i)<=sin(iπ/n)*1/(n+1/n)
最后求和利用两边夹定理
同时利用sinx在0,π上的积分”
详细表述如下：
（左式）sin(π/n)/(n+1)+sin(2π/n)/(n+1)+...+sin(nπ/n)/(n+1)
<=（需要求极限的那个和式）sin(π/n)/(n+1)+sin(2π/n)/(n+1/2)+...+sin(nπ/n)/(n+1/n)
<=（右式）sin(π/n)/(n+1/n)+sin(2π/n)/(n+1/n)+...+sin(nπ/n)/(n+1/n)，
其中：（左式）sin(π/n)/(n+1)+sin(2π/n)/(n+1)+...+sin(nπ/n)/(n+1)
=[sin(π/n)/n+sin(2π/n)/n+...+sin(nπ/n)/n]*[n/(n+1)]
（右式）sin(π/n)/(n+1/n)+sin(2π/n)/(n+1/n)+...+sin(nπ/n)/(n+1/n)
=[sin(π/n)/n+sin(2π/n)/n+...+sin(nπ/n)/n]*[n^2/(n^2+1)]
按照定义计算定积分，
恰好lim（n→∞）（左式）=∫（0到1）sinΠxdx=2/Π，注意n/(n+1)的极限为1，
并且lim（n→∞）（右式）=∫（0到1）sinΠxdx=2/Π，注意n^2/(n^2+1)]的极限为1，
于是，利用两边夹定理，得到所求极限为2/Π。
说明：①对于∫（0到1）sinΠxdx也可以利用sinx在0,π上的积分；
②结果2/Π约为0.6。
最后求和利用两边夹定理
同时利用sinx在0,π上的积分”
详细表述如下：
（左式）sin(π/n)/(n+1)+sin(2π/n)/(n+1)+...+sin(nπ/n)/(n+1)
<=（需要求极限的那个和式）sin(π/n)/(n+1)+sin(2π/n)/(n+1/2)+...+sin(nπ/n)/(n+1/n)
<=（右式）sin(π/n)/(n+1/n)+sin(2π/n)/(n+1/n)+...+sin(nπ/n)/(n+1/n)，
其中：（左式）sin(π/n)/(n+1)+sin(2π/n)/(n+1)+...+sin(nπ/n)/(n+1)
=[sin(π/n)/n+sin(2π/n)/n+...+sin(nπ/n)/n]*[n/(n+1)]
（右式）sin(π/n)/(n+1/n)+sin(2π/n)/(n+1/n)+...+sin(nπ/n)/(n+1/n)
=[sin(π/n)/n+sin(2π/n)/n+...+sin(nπ/n)/n]*[n^2/(n^2+1)]
按照定义计算定积分，
恰好lim（n→∞）（左式）=∫（0到1）sinΠxdx=2/Π，注意n/(n+1)的极限为1，
并且lim（n→∞）（右式）=∫（0到1）sinΠxdx=2/Π，注意n^2/(n^2+1)]的极限为1，
于是，利用两边夹定理，得到所求极限为2/Π。
说明：①对于∫（0到1）sinΠxdx也可以利用sinx在0,π上的积分；
②结果2/Π约为0.6。
追问
对于您的第一种说明——说明：①对于∫（0到1）sinΠxdx也可以利用sinx在0,π上的积分
sinx在0,π上的积分，结果不是等于2么？这个与∫（0到1）sinΠxdx的结果2/Π有差异啊！
追答
说明①主要是想说明在化为定积分时，这两个积分都可以解决问题，并不是想说这两个积分在数值上相等。
因为在wingwf2000和我们的回答中用了两个积分，本意是以免生疑。
这两个积分在数值上的关系，你是对的，有
2/π=sinπx在0,1上的积分=（sinx在0,π上的积分）/π=lim[sin(π/n)+sin(2π/n)+...+sin(nπ/n)]/n。
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富港检测技术（东莞）有限公司_
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追问
为什么啊，求详解！拜托了，大虾~~
追答
利用sin(iπ/n)/(n+1)<=sin(iπ/n)/(n+1/i)<=sin(iπ/n)*1/(n+1/n)
最后求和利用两边夹定理
同时利用sinx在0,π上的积分
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