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以下把回答“利用sin(iπ/n)/(n+1)<=sin(iπ/n)/(n+1/i)<=sin(iπ/n)*1/(n+1/n)
最后求和利用两边夹定理
同时利用sinx在0,π上的积分”
详细表述如下:
(左式)sin(π/n)/(n+1)+sin(2π/n)/(n+1)+...+sin(nπ/n)/(n+1)
<=(需要求极限的那个和式)sin(π/n)/(n+1)+sin(2π/n)/(n+1/2)+...+sin(nπ/n)/(n+1/n)
<=(右式)sin(π/n)/(n+1/n)+sin(2π/n)/(n+1/n)+...+sin(nπ/n)/(n+1/n),
其中:(左式)sin(π/n)/(n+1)+sin(2π/n)/(n+1)+...+sin(nπ/n)/(n+1)
=[sin(π/n)/n+sin(2π/n)/n+...+sin(nπ/n)/n]*[n/(n+1)]
(右式)sin(π/n)/(n+1/n)+sin(2π/n)/(n+1/n)+...+sin(nπ/n)/(n+1/n)
=[sin(π/n)/n+sin(2π/n)/n+...+sin(nπ/n)/n]*[n^2/(n^2+1)]
按照定义计算定积分,
恰好lim(n→∞)(左式)=∫(0到1)sinΠxdx=2/Π,注意n/(n+1)的极限为1,
并且lim(n→∞)(右式)=∫(0到1)sinΠxdx=2/Π,注意n^2/(n^2+1)]的极限为1,
于是,利用两边夹定理,得到所求极限为2/Π。
说明:①对于∫(0到1)sinΠxdx也可以利用sinx在0,π上的积分;
②结果2/Π约为0.6。
最后求和利用两边夹定理
同时利用sinx在0,π上的积分”
详细表述如下:
(左式)sin(π/n)/(n+1)+sin(2π/n)/(n+1)+...+sin(nπ/n)/(n+1)
<=(需要求极限的那个和式)sin(π/n)/(n+1)+sin(2π/n)/(n+1/2)+...+sin(nπ/n)/(n+1/n)
<=(右式)sin(π/n)/(n+1/n)+sin(2π/n)/(n+1/n)+...+sin(nπ/n)/(n+1/n),
其中:(左式)sin(π/n)/(n+1)+sin(2π/n)/(n+1)+...+sin(nπ/n)/(n+1)
=[sin(π/n)/n+sin(2π/n)/n+...+sin(nπ/n)/n]*[n/(n+1)]
(右式)sin(π/n)/(n+1/n)+sin(2π/n)/(n+1/n)+...+sin(nπ/n)/(n+1/n)
=[sin(π/n)/n+sin(2π/n)/n+...+sin(nπ/n)/n]*[n^2/(n^2+1)]
按照定义计算定积分,
恰好lim(n→∞)(左式)=∫(0到1)sinΠxdx=2/Π,注意n/(n+1)的极限为1,
并且lim(n→∞)(右式)=∫(0到1)sinΠxdx=2/Π,注意n^2/(n^2+1)]的极限为1,
于是,利用两边夹定理,得到所求极限为2/Π。
说明:①对于∫(0到1)sinΠxdx也可以利用sinx在0,π上的积分;
②结果2/Π约为0.6。
追问
对于您的第一种说明——说明:①对于∫(0到1)sinΠxdx也可以利用sinx在0,π上的积分
sinx在0,π上的积分,结果不是等于2么?这个与∫(0到1)sinΠxdx的结果2/Π有差异啊!
追答
说明①主要是想说明在化为定积分时,这两个积分都可以解决问题,并不是想说这两个积分在数值上相等。
因为在wingwf2000和我们的回答中用了两个积分,本意是以免生疑。
这两个积分在数值上的关系,你是对的,有
2/π=sinπx在0,1上的积分=(sinx在0,π上的积分)/π=lim[sin(π/n)+sin(2π/n)+...+sin(nπ/n)]/n。
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