Question

如图23-32所示,△OAB,△OCD为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°

（1）如图23-32，点C在OA边上，点D在OB边上，连接AD,BC，M为线段AD的中点，求证OM⊥BC
（2）将△OCD绕点O逆时针旋转一定角度（如图23-33)M为线段AD的中点
①线段OM与线段BC是否存在某种确定的数量关系？写出并证明你的结论
②OM⊥BC是否仍然成立？若成立，请证明你的结论，若不成立，请说明理由

Answer 1

（1）∵△OAB,△OCD为等腰直角三角形，∴OA=OB，OC=OD，∵∠AOB=∠COD=90°，∴△OAD≌△OBC，∠OAD=∠OBC；∵M为线段AD的中点，∴MD=MO=MA，∠OAD=∠MOA=∠OBC，设MO交BC于E点，∵∠OCD是△EOC和△BOC的共用角，∴△EOC∽△BOC，∠OEC=∠BOC=90°，OM⊥BC；
（2）设旋转角为α，OA=OB=a，OD=OC=b；由余弦定理得：AD²=a²+b²-2abcos(π/2+a)=a²+b²+2absinα，BC²=a²+b²-2abcos(π/2-a)=a²+b²-2absinα，两式相加得：AD²+BC²=2a²+2b²；OM是△AOD在AD边上的中线，由余弦定理得：a²=AD²/4+OM²-AD*OMcos∠AMO，b²=AD²/4+OM²-AD*OMcos(π-∠AMO)，两式相加得：a²+b²=AD²/2+2OM²；代入得：AD²+BC²=AD²+4OM²，则BC=2OM；
（3）在△OBC中，由余弦定理得：b²=4OM²+a²-4aOMcos∠OBC，cos∠OBC=(4OM²+a²-b²)/4aOM；在△AOM中，由余弦定理得：AD²/4=OM²+a²-2aOMcos∠AOM，整理得：cos∠AOM=(4OM²+a²-b²)/4aOM；则cos∠OBC=cos∠AOM，∠OBC=∠AOM，OM⊥BC成立。

追问

我还没学“余弦定理”用全等相似做行吗

追答

用全等相似可能证不出来，因为角度互余，缺少相似条件。

追问

哦，谢谢

Answer 2

（1）∠PCD=∠PDC
理由如下：
因为P点是∠AOB平分线上一点（已知）
所以)∠COP=∠BOP（角平分线定义）
因为PC⊥OA,PD⊥OB（已知）
所以∠OCP=90°，∠OBP=90°（垂直定义）
所以∠OCP=∠OBP（等量代换）
因为OP=PO（公共边）
所以△OBP≌△OCP（A.A.S）
所以∠PCD=∠PDC（全等三角形的对应角相等）
（2）OP是CD的垂直平分线
理由如下：
因为∠PCD=∠PDC（已求）
且∠OCP=∠OBP（已求）
所以∠OCP-∠PCD=∠OBP-∠PDC（等式性质）
即∠OCD=∠ODC
所以OC=OD（等角对等边）
所以OP是CD的垂直平分线（等腰三角形的三线合一）

追问

你从哪里复制来的？

Answer 3

②成立 延长AO至F，使OF=OB，则OM平行DF，△BCO≌△FOD，即可得证