Question

关于n阶行列式：|A*|=|A|^(n-1)的证明

如图：
前两行忽略，从第3行开始哈
他已经给出对于|A|≠0时的证明，就不用麻烦了
但是对于|A|=0这种情况，如何证明该等式成立呢？？
好像要用矩阵秩的概念
麻烦看一下吧 只要证明|A|=0这种情况就可以
谢喽~~

Answer 1

当R(A)<n-1时，则A中所有n-1阶子式全为0，
即A*中所有元素均为0
A*=0
|A*|=0
所以可以说|A*|=|A|^(n-1)

当R(A)=n-1时，A中至少有一个n-1阶子式不等于0
所以A*≠0，那么R(A*)≥1
又因为AA*=|A|E=0
那么R(A)+R(A*)≤n
R(A*)≤1
所以R(A*)=1
因为A*不是满秩矩阵，所以|A*|=0
|A*|=|A|^(n-1)

Answer 2

当 |A| = 0 时, 必有 |A*| = 0
否则, 若|A*|≠0, 则A*可逆.
由 AA* = |A|E = 0
等式两边右乘 (A*)^-1 得 A = 0
进而 A* = 0. 这与 |A*|≠0 矛盾.
故当 |A| = 0 时, 必有 |A*| = 0
此时仍有 |A*| = |A|^(n-1)

Answer 3

A＾-1=A*/|A|
A*=|A|A^-1
|A*|=||A|A^-1|=|A|^(n-1)
|A|=0,A=0,这种矩阵没有伴随阵吧？

Answer 4

|A|=0时，|A*|=0，还用证什么啊