Question

不等式最值问题

若abc∈R,且ab+bc+ac=1 求1/a+1/b+1/c的最值
请写出过程，O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

先通分得
(ab+bc+ca)/abc=1/abc
只要求abc的范围。由算数大于等于几何平均：
三次√(ab*bc*ca)<=(ab+bc+ca)/3
(ab*bc*ca)<=[(ab+bc+ca)/3]^3
(abc)^2<=1/27
abc<=√3/9
.'.1/abc=>3√3

Answer 2

【【注：这里，可能少了一个条件，就是a,b,c均是正数。】】
解：
【1】
∵ab+bc+ca=1.且abc＞0
∴两边同除以abc,可得
（1/a)+(1/b)+（1/c)=1/(abc).
【2】
由基本不等式可得
[(1/a)+(1/b)+(1/c)]³≧27/(abc)
∴结合上面的结果，可得
[(1/a)+(1/b)+(1/c)]²≧27
∴(1/a)+(1/b)+(1/c)≧3√3
等号仅当a=b=c=1/√3时取得。
∴[(1/a)+(1/b)+(1/c)]min=3√3
易知，原式无最大值。