Question

急~求助高中数学题！

1、已知f(x)定义域为R，对任意实数m、n均有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，且f(1/2)=2，又当x＞-1/2时，有f(x)大于0
（1）求f(1/2)的值（这问我会不用写过程了。。）
（2）求证：f(x)是单调递增函数

2、已知二次函数y=g(x)的导数图像与直线y=2x平行，且y=g(x)在x=-1处取得最小值m-1（m≠0）。设函数f(x)=g(x)/x
(1)若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为√2，求m的值
(2)k(k∈R)如何取值时，函数y=f(x)-kx存在零点，并求出零点

以上两题小弟有些乏力，求大哥大姐能帮忙写下过程，谢谢大家了~！

Answer 1

第一题：
f(x+m) = f(x) + f(m) - 1 (m为任意常数)，两边对x求导， f'(x+m) * (x+m)' = f'(x) + [f(m) -1]'
即： f'(x+m) = f'(x) 对任意m恒成立， f(x)是一次函数， 设f(x) = kx + b 代入 f(0) =1,f(1/2) = 2
可得 f(x) = 2x + 1,是单调递增函数。

第二题：
1. g'(x) = 2x + b, g(x) = x^2 + bx + c.
因为 x = -1时，函数取得最小值 m-1，可得 b = 2, c = m
所以：g(x) = x^2 + 2x + m, f(x) = x + m/x + 2
所以：点 P(x, x + m/x + 2) 到 Q(0,2)的距离的平方
h(x) = x^2 + (x + m/x)^2 = 2x^2 + (m/x)^2 + 2m >= 2倍根号2 |m| + 2m
(均值不等式，当2x^2 = (m/x)^2时取等号)。

因为距离肯定为正值，当PQ距离最小时，距离的平方h(x)也就最小
所以函数y = h(x)的最小值：2倍根号2 * |m| + 2m = 2
解得m = 负根2-1 或 根2-1