Question

什么是最大公约数和最小公倍数？

Answer 1

最大公约数就是几个数中共有的约数中最大的那个数。
算法通常欧几里德算法，大素数的时候会采用Stein算法。
最小公倍数是几个数共有的倍数中最小的那个数。
求出最大公约数后，可以直接用两数的乘积除以它们的最大公约数，得到最小公倍数。

为什么没有最小公约数和最大公倍数
在数学里我们曾学过最大公约数以及最小公倍数。或许你会提出问题，为什么公约数要讲最大，但公倍数却又讲最小呢?是否有最小公约数和最大公倍数呢?假如有的话，为什么不讲呢?http://www.ouky.com 奥开网

我们首先从一个具体情况来看：http://www.ouky.com 奥开网

例如有正整数16和24，它们有很多公约数，就是：1、2、4、8，它们的最大公约数是8，最小公约数是1。http://www.ouky.com 奥开网

再看正整数15和56，它们都只有一个公约数，就是1。我们从这里能看出，任何两个正整数，总会有公约数1，且1总是它们的最小公约数(公约数总是只讲整数的)。两个或两个以上的数，它们的最小公约数既然总是1，就不必讨论了。这也就是我们不谈最小公约数的道理。但这并不是主要的道理。主要的道理在哪里呢?http://www.ouky.com 奥开网

我们学习数学，主要的目的是，必须要数学知识为我们服务，而不只是拿数学知识做游戏。两个正整数的最大公约数，在分数约分里是用得到的。通过约去分子分母的最大公约数，我们就能把一个分数化成最简分数。这样就相当简单了。而最小公约数1，却没有什么用处。这就是我们不研究最小公约数的原因。http://www.ouky.com 奥开网

那么，两个正整数是否有最大公倍数呢?例如有两个正整数16和24，它们的最小公倍数是48。显然48乘上任何整数之后依然就是16和24的公倍数。http://www.ouky.com 奥开网

例如48×2＝96，48×3＝144，48×4＝192，48×1000＝48 000等都是16和24的公倍数。由于自然数没有最大的数，因此也就没有最大的公倍数。http://www.ouky.com 奥开网

实际上，在分数通分的时候，也只须用到最小公倍数。假如用较大的公倍数，还不方便。既然没有最大公倍数，也不需任何较大的公倍数，这就是我们只研究最小公倍数的原因。

Answer 2

最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）指的是几个整数中能够同时整除它们的最大正整数。也可以理解为两个或多个数的公有因子中最大的一个数。

最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）则表示几个整数中能够同时被它们整除的最小正整数。也可以理解为两个或多个数的公共倍数中最小的一个数。

最大公约数和最小公倍数在数学和实际问题中有广泛的应用。

举个例子来说明，假设有两个整数：6和9。

首先，我们找到它们的公约数：6的因数是1、2、3、6，9的因数是1、3、9。它们的公约数是1和3，其中最大的公约数是3。

然后，我们找到它们的公倍数：6的倍数是6、12、18、24...，9的倍数是9、18、27、36...。公倍数是18，其中最小的公倍数是18。

因此，对于整数6和9，它们的最大公约数是3，最小公倍数是18。

最大公约数和最小公倍数在数论、代数、分数运算、因式分解等数学领域中具有重要的意义，并在实际应用中用于解决问题，如化简分数、求解方程、计算时间等等。