Question

椭圆的标准方程是什么形式的？

Answer 1

椭圆的标准方程可以通过几何性质和代数推导得出。以下是形成椭圆的标准方程的步骤：
1. 定义：椭圆是所有到两个焦点距离之和等于常数2a的点的集合，其中a是椭圆的半长轴长度。
2. 坐标系：假设我们在平面直角坐标系中工作，将椭圆的中心放置在原点(0, 0)处。
3. 焦点和半长轴：假设焦点的坐标为(-c, 0)和(c, 0)，其中c是与半长轴相关的常数。
4. 焦半距离：焦半距离定义为d = ae，其中e是椭圆的离心率，满足0 < e < 1。
5. 坐标点上椭圆的定义：对于任意一点(x, y)，其到两个焦点的距离之和等于2a，即√((x + c)^2 + y^2) + √((x - c)^2 + y^2) = 2a。
6. 平方化处理：对该等式进行平方化处理，可以得到 (√((x + c)^2 + y^2))^2 + (√((x - c)^2 + y^2))^2 + 2√((x + c)^2 + y^2)√((x - c)^2 + y^2) = (2a)^2。
7. 化简：将等式中的根号项进行化简和整理，最终可以得到标准形式的椭圆方程：((x + c)^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1，其中b满足b^2 = a^2 - c^2。
通过上述推导步骤，我们可以得出椭圆的标准方程，该方程描述了所有满足椭圆定义的点的集合。需要注意的是，方程中的常数a、b和c代表椭圆的特征参数，根据焦点位置和离心率的不同而变化。

Answer 2

设《一般式》为：Ax^2+By^2+C=0   【若有一次项，则需要《坐标平移》，若有交叉项（即含xy项）则需要《坐标旋转》】

则  Ax^2+By^2=-C^2  =>  (-A/C)x^2+(-B/C)y^2=1  =>  x^2/(-C/A)+y^2/(-C/B)=1

这就化为了《标准型》，其中：a'=√(-C/A)、b'=√(-C/B)  【哪个是长半轴可以由实际值判定】

例子  9x^2+16y^2-144=0  =>  x^2/(144/9)+y^2/(144/16)=1  =>  x^2/16+y^2/9=1

=> x^2/4^2+y^2/3^2=1

扩展资料:

椭圆的标准方程共分两种情况：

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；

其中a^2-c^2=b^2

推导:PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点 F为焦点)

参考资料:百度百科-椭圆的标准方程