Question

急急急~！一道微分方程里的初值问题。知道的帮忙解答一下。感激不尽。~！！！

问题如下：
y′ = y- t^2 +1, 0<= t <=2,
y(0) = 1/2.
考虑 y(t) = (t+1)^2 -(1/2)(e^t)
(a) 是这个微分方程的解。
(b) 求证这个初值条件。

谢谢了。刚接触 微分方程 学的不是很扎实。知道的帮忙解答一下吧。谢谢了。

Answer 1

a 把式子弄成y′ -y+t^2 -1=0 记做方程1

然后对y(t) = (t+1)^2 -(1/2)(e^t)对t求导 求出y' 把 y(t) = (t+1)^2 -(1/2)(e^t)和y'都带入方程1左端对应的y和y'处， 若为0 则是这个微分方程的解

b的话他是个一阶线性非齐次方程 你要求出他通解来

用一阶线性非齐次方程的公式法。 p（x）和q（x）等于什么自己思考 ，这里的x换成t

然后带入t=0 看看能不能等于1/2

自己算下 有问题可以追问

Answer 2

解：（a）∵y(t) = (t+1)^2 -(1/2)(e^t)
==>y'(t)=2(t+1)-(1/2)(e^t)
把y(t)和y'(t)代入原方程
得 右边=y- t^2 +1
=(t+1)^2 -(1/2)(e^t)-t^2+1
=t^2+2t+1-(1/2)(e^t)-t^2+1
=2t+2-(1/2)(e^t)
=2(t+1)-(1/2)(e^t)
=左边
∴ y(t) = (t+1)^2 -(1/2)(e^t)是这个微分方程的解；
（b）∵y(t) = (t+1)^2 -(1/2)(e^t)
==>y(0) = (0+1)^2 -(1/2)(e^0)
=1-1/2
=1/2
∴y(t) = (t+1)^2 -(1/2)(e^t)满足y(0) = 1/2这个初值条件。