Question

什么是级数,如何用它求圆周率

通过级数可以得到
arctanx=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+...
π/4=arctan0.5+arctan0.2+arctan0.125
把每个都展开加起来就行了

Answer 1

级数（series）就是一列有限的或无限表达式的和。
如：
1 + 2 + 3 + 4 = 10，是有限的数项级数。
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + …，是无穷的幂级数。

用级数求圆周率，就是把圆周率先写成一个函数表达式，然后把这个函数写成无穷级数（一般是幂级数）的形式，计算此无穷级数前n项的部分和，从而对圆周率进行估计。

关于π的一个古典级数是1674年发现的Leibniz级数：
π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + …
不过它收敛非常慢，很不实用。

1748年数学家Euler也发现一个著名的级数：
π^2 / 6 = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … + 1/n^2 + …
不过它收敛得很也慢，不实用。

比较实用的关于ArcTan的公式有你写的
π/4 = ArcTan(1/2) + ArcTan(1/5) + ArcTan(1/8)
及
π = ArcTan(1/5) - 4 ArcTan(1/239)
还有
π = 88 ArcTan(1/28) + 8 ArcTan(1/443) - 20 ArcTan(1/1393) - 40 ArcTan(1/11018)
等等。

另外有一些基于模形式理论的公式，计算速度更快一些，就不抄了。

Answer 2

怎么就没个专业人士来解答啊？！！楼上的也不知是在哪里找的然后就一股脑的抄了下来，太不负责任了！这个问题很简单，级数是指若有数列{Xn}（这数列必须是含有无穷多项），它的所有和（即无穷多项和）就叫级数。设有函数arctanx根据麦克劳林展开式有arctanx=x-x^3/3+x^5/5-......+(-1)^nX^(2n+1)/2n+1+...令X=3^(-1/3)代入上式就可以根据你要精确的位数来求近似值。

Answer 3

蒲丰针的问题给了圆周率一个很好的求法,看看概率论,应该书里都有这个例子

Answer 4

HHH

Answer 5

级数能求PI？真没听说过，也许是我没学到级数那么深吧