Question

若方程x的平方+x-1=0的两个根为x1、x2用韦达定理计算： （1）x1的平方+x2的平方=？ （2）x1-x2的绝对值=？

求过程+答案 谢啦

Answer 1

由韦达定理，得
x1+x2=-1
x1x2=-1
(1)
x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=(-1)²-2(-1)=1+2=3
(2)
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=(-1)²-4(-1)=1+4=5
|x1-x2|=√5

追问

第一题中，怎么变成(x1+x2)2-2x1x2 的？
第二题中又怎么变成(x1+x2)2-4x1x2的？

追答

这是利用韦达定理解题的最基本的恒等变换。
x1²+x2²=x1²+2x1x2+x2²-2x1x2=(x1+x2)²-2x1x2
(x1-x2)²=x1²-2x1x2+x2²=x1²+2x1x2+x2²-4x1x2=(x1+x2)²-4x1x2

Answer 2

解：对于方程ax²+bx+c=0两根为x1、x2，则由韦达定理得x1+x2=-b/a,x1x2=c/a
x²+x-1=0,则x1+x2=-1,x1x2=-1
1) x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=(-1)²-2×(-1)=3
2) |x1-x2|=√(x1-x2)²=√(x1²+x2²-2x1x2)=√[3-2×(-1)]=√5