Question

解关于x的不等式，log2 (x+1/x+6)<=3,2是底数

Answer 1

显然，x不为0，否则原不等式没意义。
一、当x＞0时，由基本不等式，有：x＋1/x≧2，∴x＋1/x＋6≧8＝2^3。
　　而原不等式变换成指数形式，就是：x＋1/x＋6≦2^3。
　　x＋1/x＋6≧8＝2^3与x＋1/x＋6≦2^3要同时满足，只能是取等号，即x＋1/x≧2取等号，
　　∴x＝1/x，得：x＝1。

二、当x＜0时，由基本不等式，有：（－x）＋（－1/x）≧2，∴x＋1/x≦－2，
　　∴x＋1/x＋6≦4＜8＝2^3。
　　显然，这与原不等式变换成指数形式是一致的。但要使原不等式有意义，还需要：
　　x＋1/x＋6＞0，∴x^2＋6x＋1＜0，∴x^2＋6x＋9－8＜0，
　　∴（x＋3）^2－8＜0，∴（x＋3＋2√2）（x＋3－2√2）＜0，
　　∴－2√2－3＜x＜2√2－3。

综上一、二所述，原不等式的解是x＝1和x∈（－2√2－3，2√2－3）。

Answer 2

2>1 单增
则由log2 (x+1/x+6)<=3
得 0<x+1/x+6≤8
1. x+1/x+6)>0 (x²+6x+1)/x>0
(x+3-2√2)(x+3+2√2)/x>0
解得-3-2√2<x<-3+2√2或x>0
2. x+1/x+6≤8
x+1/x-2≤0
(x²-2x+1)/x≤0
(x-1)²/x≤0
解得x<0或x=1
综上：-3-2√2<x<-3+2√2或x=1
希望能帮到你O(∩_∩)O

Answer 3

2是底数，它大于1，所以对数为增函数。
log2 (x+1/x+6)<=3=log2(8)
x+1/x+6<=8，
解为：x<=1且x≠0
解上面不等式，函数理解就简单了，你会画y=x+1/x图像吧，一看就有解了。

追问

可是你并不知道x是大于0还是小于0啊，为什么就能直接得出答案？

追答

对了，忘记定义域了
x+1/x+6>=2,
所以，原题正确答案是：0<x<=1

Answer 4

log2 (x+1/x+6)≤3=log2﹙8﹚
∴0＜x+1/x+6≤8
-47/7≤x＜-1

追问

为什么x直接就有解了？

追答

解不等式组得的