Question

高数微分题目求解

如图片 请附解题过程

Answer 1

7、A
当n->∞时，√(n²+1)->√n²=n
∴sin(π√(n²+1))->sin(nπ)=0
8、C
cotx(1/sinx-1/x)=(cosx/sinx)(1/sinx-1/x)
limx->0时，原式=(x-sinx)/(xsin²x)
x->时，sinx~x
所以上式=(x-sinx)/x³
用两次洛必达法则，即对分子分母求两次导数得1/6

Answer 2

1. | sin(π√(n^2 +1) | = sin [π√(n^2 +1) - nπ] = sin π[√(n^2 +1) - n]
0 ≤ sin π[√(n^2 +1) - n] ≤ π[√(n^2 +1) - n] = π/ [√(n^2 +1) + n] -> 0
选择 A
2. 原式= limit [ (x-sinx)/ [ tanx * x * sinx] , x->0 ]
= limit [ (x-sinx)/ x^3 , x->0 ] 罗必塔法则
= limit [ (1 - cosx)/ 3x^2 , x->0 ]
= limit [ sinx / 6x , x->0 ] = 1/6
选择 C

Answer 3

（1）因为sinnπ = 0
所以sinπ√(n²+1) - sinnπ = 2sin(√(n²+1) - n)π/2 cos√(n²+1) + n)π/2
=2sin1/2(√(n²+1) + n) *π cos√(n²+1) + n)π/2 = 2*0*cos√(n²+1) + n)π/2 = 0
（2）使用级数sinx = x - x³ / 6 + ......
原式 = lim cosx / sinx * (x-sinx) / xsinx
= lim cosx / sinx * x³ / 6xsinx
= lim cosx * x² / (6sin²x)
= 1/6