Question

求解一道高二数学题，正玄定理那章的，要详细的过程，题目如下：

在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=√3，则（a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=？
谢谢帮助了~！！
我还没学到余弦定理那章啊，这是老师出的聪明题..

Answer 1

a/sinA=b/sinB=c/sinC=（a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)
S△ABC=√3=1/2*c*b*sinA=1/2*c*1*√3/2
c=4
由余弦定理得
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA=1+16-2*1*4*cos60度
=17-4=13
a=√13
所以
（a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=a/sinA=√13/sin60°=√13/(√3/2)=(2√39)/3

追问

我还没学余弦定理啊，那如果不用余弦定理，怎么做？

追答

过C作AB垂线交AB于D，
因为A=60度，AC=b=1,所以
AD=1/2，CD=√3/2，
从而
BD=4-1/2=7/2
利用勾股定理，有
BC=a=√[(√3/2)^2+(7/2)^2]=√52/4=√13

追问

请恕我有点愚钝，再问一下，为什么（a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)会等于a/sinA？

请恕我有点愚钝，再问一下，为什么（a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)会等于a/sinA？

Answer 2

（a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=a/sinA啊
我也忘了是怎么得的，我自己看法用a与sinA表示其他角或边代入（a+b+c)/(sinA+sinB+sinC）可得

Answer 3

解：因为S△ABC=(1/2)bcsinA=√3 所以c=4
再由余弦定理 cosA= ……=1/2解得a=根号13
再由正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC
再根据比例性质：(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=a/sinA=(2根号39)/3