Question

高中数学竞赛题

有集合A｛1，2，3……100｝。若有集合X包含于A，记X中各元素之和为Sx，求所有的Sx之和。

不是A中所有的元素之和！看清楚题目！！
一共有2的100次方个集合X...这么多的Sx怎么求？

Answer 1

集合A｛1，2，3……100｝的子集中中含元素1的集合有2的99次方个，这是很显然的，因为不含1的就是从集合｛2，3……100｝中找子集，那是2的99次方个，A的所有自己就分为2类，含1和不含1的，含1的子集个数用2^100-2^99=2^99个，这说明1出现了2^99次，同理2，3，4。。。100都出现了2^99次，因此所有sx的和为(2^99)*(1+2+3+...+100)=5050()*2^99

Answer 2

在2的100次方个集合X中，集合A里面的每一个元素出现的次数是一样多的
拿元素1举例吧
空集不包含元素
只含有一个元素的集合，只有一个1=C0 /99 个 (组合数)
包含两个元素的集合，其中有元素1的的集合一共有99=C1 /99个
包含三个元素的集合，其中有元素1的集合一共有C2 /99
包含四个元素的结合，其中有元素1的集合一共有 C3 /99个
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
包含100个元素的集合，其中有元素1的集合有 C99 /99个
所以在这些集合中，1出现的次数为 C0 /99 +C1 /99 +C2 /99 +...+C99 99=2^99 次
每个元素出现的次数一样多
所以 所有的Sx之和为 2^99 ×(1+2+3+...+100)=5050×2^99

Answer 3

我来试试吧...
这个其实不难的...

解:共有N=2^100个集合，对于A中的任意元素xi，在这N个集合中，出现与不出现的次数是一样的
因为对于出现xi的集合，去掉xi则构成与之不同的另一个集合，且其余元素全部相等
所以，xi出现了 2^99次..
故Sx=(1+2+...+100)2^99=10100*2^98

追问

为什么任意元素在集合中出现和不出现的次数是一样的
为什么它出现了2^99次 只有一次没有 假定元素是1 那在X={2} X={3} 这不就超过一次没有了？

追答

它出现了2^99次 并不是只有一次没有。。。而是2^99次
比如 其他元素构成的集合是 S1， 那么{s1}{s1,xi}就是一对不同的集合...
S1不同，这一对就不同， 所以 出现和不出现是成对发生的

Answer 4

楼主等等我，我会。我手机的，比较慢，我会修改答案的，别追问。

追问

好的 我等你的过程 希望能详细一点

追答

解：设Xi为A的一个子集，则C(A)(Xi)也必然是A的子集。那么，在A的子集中，对于任意一个Xi，必有一个Xj属于A，使得Xi并Xj=A。所以在2^100个子集中，恰好有2^99对子集，他们的元素之和均为(1+2+3...+100)，所以,所有的Sx=(1+2+3...+100)*2^99=10100*2^98
我想这就是标准答案了，答案都是很有技巧的。
望采纳，谢谢。

Answer 5

包含1的集合有2的100次方除以100，同理其他数字亦是，故总和为5.05×2¹ºº

追问

我没有懂你的意思 可以详细一点吗 我想要看过程

Answer 6

这2的100次方个集合中，因为{2,3,4....100}有2的99次方个子集.所以有2的99次方个中有1,2的99次方个中没有1.也就是1出现了2^99次.同理2,3,4...100.都出现了2^99次.所以Sx=（1+2+3+.....+100)*2^99=5050*2^99