Question

高中数学导数一道题

已知函数f(X)=1/3 x^3-a+1/2 x^2+bx+a (a,b属于R),其导函数f'(x)的图像过原点

（1）当a=1时，求函数f(x)的图像在x=3处的切线方程。
（2）若存在x<0,使得f '(x) =-9,求a的最大值.
(3) 当a>0时,确定函数f(x)的零点个数

高三了, 作业不会啊, 拜托各位了, , 麻烦 解释下这三问的思路 , 写下 过程, , , , ,
十分感谢, , 好了追加100 , 打扰大家时间了, , 谢谢啊

Answer 1

已知函数f(X)=(1/3 )x³-[(a+1)/2] x²+bx+a (a,b属于R),其导函数f'(x)的图像过原点
（1）当a=1时，求函数f(x)的图像在x=3处的切线方程。
（2）若存在x<0,使得f '(x) =-9,求a的最大值.
(3) 当a>0时,确定函数f(x)的零点个数
解：(1)a=1时，f(x)=(1/3)x³-x² +bx+1，其导函数f′(x)=x²-2x+b的图像过原点，故b=0，于是得：
f(x)=(1/3)x³-x²+1，f′(x)=x²-2x；f(3)=1，f′(3)=9-6=3，故在x=3处的切线返程为：y=3(x-3)+1=3x-8
(2).若存在x<0使得f′(x)=x²-(a+1)x=-9，即方程x²-(a+1)x+9=0有负根，设其二根为x₁，x₂，由于 x₁x₂=9>0，故x₁，x₂都为负根，即有x₁+x₂=a+1<0，故a<-1；因为有根，故其判别式
Δ=(a+1)²-36≧0，(a+1)²≧36，考虑到a<-1，故得a+1≦-6，即有a≦-7，也就是amax=-7.
(3).当a>0时，令f(x)=(1/3 )x³-[(a+1)/2] x²+a=0.................................(1)
再令f′(x)=x²-(a+1)x=x[x-(a+1)]=0，得驻点x₁=0，x₂=a+1；因为a>0，故x₁≠x₂，因此有相异二驻点，又f″(x)=2x-(a+1)，f″(x₁)=f″(0)=-(a+1)<0，故x₁=0是极大点，maxf(x)=f(0)=a>0；
f″(x₂)=f″(a+1)=2(a+1)-(a+1)=a+1>0，故x₂=a+1是极小点，minf(x)=f(a+1)=-[(a+1)³/6]+a
=[6a-(a+1)³]/6；当x<0或x>a+1时，f′(x)>0，即f(x)在区间(-∞，0)∪(a+1，+∞)内单调增；当
0<x<a+1时f′(x)<0，即在区间(0，a+1)内f(x)单调减。故当极大值与极小值异号时f(x)有三个
零点；同号时有一个或两个零点。已知极大值=a>0，故f(x)的零点的个数取决于minf(x)=f(a+1)
的符号和大小。当a=√2-1时，6a-(a+1)³=6(√2-1)-(√2)³=2.48528-2.82842>0，即minf(x)>0，
故此时f(x)的极大值与极小值同号，f(x)只有一个零点；当6a-(a+1)³=0时(此时a的准确值不好求)，f(x)有两个零点；当6a-(a+1)³<0时，f(x)有三个零点。

Answer 2

f'(x)=x^2-（a+1）x+b
∵f'(x)过原点，∴b=0
（1）a=1时，f'(x)=x^2-2x，
f'(3)=3，f(3)=9-9+1=1,
切线为：y=3x-8
(2)即存在x<0,使得x^2-（a+1）x=-9,
即方程x^2-（a+1）x+9=0至少有一个负根，
因为两根之积是正的，故只能是有两个负根
a+1<0,a<-1
且(a+1)^2-36≥0,a+1≤-6
故a最大为-7
（3）要分类讨论，首先讨论导函数的根的情况，
0<a≤5时，f'(x)≥0，原函数单调增，只有一个零点
a>5时，f'(x)=0有两个不等根，设为x1,x2,且x1<x2
则在x1处原函数有极大值，x2处有极小值
讨论这两个极值和0的关系，若都大于0或都小于0，则一个零点
若有一个为0，另一个非零，则两个零点
若异号则三个零点

Answer 3

你的函数有问题吧？表达式中-a和+a不是消了么？或者是3-a次方？
或者改为f(X)=1/3 (x^3-a)+1/2 x^2+bx+a
第一问：f'(x)的图像过原点，求出f'(x)的表达式，设f'(x)=0时，带入a=1，可求出b值
将a、b的值带入f(X)=1/3 x^3-a+1/2 x^2+bx+a=3 可求出x值
设切线方程为f1(X)=cx+d 利用f1(X)=0和3 和x=0 求c和d的值
第二问：应该是用f '(x) =-9 求出x关于a的解，应该会有小于0的解，再利用最大值
最小值公式，可以求出，这一问我没什么把握
第三问：当a>0时，利用顶点公式可求

Answer 4

大家都说了，题目有问题啊
第三问，你先确定b的值，然后让f（x）=0看看方程有几个解不就完了？

Answer 5

确定没打错？ 追加最多50分··汗···
f(X)=1/3 x^3-a+1/2 x^2+bx+a 这里看清楚点···是不是打少东西了··a值约去无意义啊·

追问

可以的 是 三分之1乘以X立方 减去 二分之 a+1 乘以X平方+bx+a

追答

果然·你打多哥括号不行啊f(X)=1/3 x^3-（a+1）/2 x^2+bx+a

第一问，
把a代入FX 然后求导数F'X 代入（0,0）·得b=0 再把3代入F'X FX 求出（3，X）和斜率
点斜式求直线
第二问， 据题意得方程x^2-(a+1)X=-9
化简 (a+1)=(x^2+9)/x=x+9/x=-(-x+9/-x)0 极小值0···可能其中部分不用讨论··
正确请采纳