Question

一道线代题

问题：A是三阶矩阵， α1、α2、α3 线性无关， 又Aα1=α1+α2、Aα2=α2+α3、Aα3=α3+α1
求|A|=？

麻烦写下过程？？
另外，想问一下，对于矩阵、向量、行列式这三种不同形式来说 比如A=（α1 α2 α3 α4）α1 α2 α3 α4之间需要加逗号吗？
谢谢~~
特别想请问一下：“α1、α2、α3 线性无关”
这个条件怎么使用啊？？

Answer 1

A(α1，α2，α3)^T
=(Aα1，Aα2，Aα3)^T
=(α1+α2，α2+α3，α3+α1)^T
所以
1 1 0
A= 0 1 1
1 0 1
|A|=2

A=(α1，α2，α3，α4)，要加逗号

“α1、α2、α3 线性无关”条件的使用：
a11 a12 a13
如果设A= a21 a22 a23
a31 a32 a33
那么A(α1，α2，α3)^T
=(a11α1+a12α2+a13α3，a21α1+a22α2+a23α3，a31α1+a32α2+a33α3)^T
=(α1+α2，α2+α3，α3+α1)^T
那么a11α1+a12α2+a13α3=α1+α2
即(a11-1)α1+(a12-1)α2+a13α3=0
因为α1、α2、α3 线性无关
所以a11-1=0，a12-1=0，a13=0
得a11=1，a12=1，a13=0
其它元素也可以类似求出
但是这题比较简单，所以就可以不用这样设，但是正是因为线性无关，才可以知道各元素的值

追问

谢谢了哈
有3个地方不是太明白：
1、A(α1，α2，α3)^T
=(Aα1，Aα2，Aα3)^T
=(α1+α2，α2+α3，α3+α1)^T
依据是数与矩阵相乘的运算中： （kA）^T=kA^T吗？
可是这里是两个矩阵相乘啊？也可以直接将A 乘到括号里面吗？

2、 1 1 0
A= 0 1 1
1 0 1
这里不是A(α1，α2，α3)^T=这个矩阵吗？为什么直接是A=？？

3、关于加逗号的问题，是不是：只有1行若干列的矩阵和向量加？其他都不加

追答

其实我也不知道了，我只是按自己的想法做的，现在看看也觉得不对
我那里用(α1，α2，α3)^T是想表示是将α1，α2，α3竖着放
不过应该不用竖着放，因为α1，α2，α3本来就是3维列向量，再竖着就是9维了
应该直接用A(α1，α2，α3)
可以证明A(α1，α2，α3)是等于(Aα1，Aα2，Aα3)的
设A=(β1，β2，β3)^T （就是说β1，β2，β3是行向量）
β1α1 β1α2 β1α3
A(α1，α2，α3)= β2α1 β2α2 β2α3
β3α1 β3α2 β3α3
设λi=(β1αi，β2αi，β3αi)^T=Aαi （就是说设上面的第i列为λi）
那么A(α1，α2，α3)=(λ1，λ2，λ3)=(Aα1，Aα2，Aα3)
但是就算做到这里也没用啊
我不会了，不好意思啊

Answer 2

线性无关就是a4，a5.。。可以用这几个来表示 只是表明题目严谨性 知道了解就可以
A=110
011
101
那么|A|=110=110
011 011
0-11 002
可知|A|=2