Question

如图,在△ABC中,已知AB=AC,点D是BC中点,∠ABC的平分线与AD相交于点E.求证:点E到AC的距离等于DE.

Answer 1

在△ABC中,已知AB=AC,点D是BC中点 所以AD垂直于BC BD=CD
所以∠BAD=∠CAD 又EG垂直于AB，EF垂直于AC 所以EG=EF
同理EG=ED
所以EF=ED
即点E到AC的距离等于DE

Answer 2

因为AB=AC,点D是BC中点,故AD三线合一（角平分线，垂线，中线）
所以ED垂直BC
E为∠ABC角平分线上的点，故GE=DE
同理，E为∠BAC角平分线上的点，故GE=EF
所以DE=EF，即点E到AC的距离等于DE

Answer 3

连接EC
因为△ABC是等腰三角形，D是BC的中点
所以，AD是∠BAC的角平分线，也是BC的垂直平分线
根据三角形性质，三个角的平分线交于一点
则，EC为∠ACB的角平分线
∠EBC=∠EBA,∠EGB=∠ADB=直角,BE是公共边，所以△BGE全等△BDE，
同理可证，△CFE,△CDE,△BGE,△BDE都全等。
所以EG=EF
即点E到AC的距离等于DE
得证

Answer 4

连接CE，因为AB=AC，D是BC中点，所以AD是<ABC的平分线，因此EG=EF，AG=AF
因此，三角形BEG全等于三角形CEF（两边一角相等）
所以角ECF=角EBG
因为BE是角平分线，所以角ECF=角EBC，而角EBC=角ECB
所以角ECB=角ECF
所以CE是角ACB的平分线，所以ED=EF，得证

追问

AD怎么能是∠ABC的平分线，应该是∠BAC

Answer 5

证明：
∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD也是∠BAC的角平分线。
又∵BE是∠ABC的角平分线，
∴CE也必定是∠BCA的角平分线（三角形三个角平分线交于一点）
∴点E到AC的距离等于DE（角平分线的性质）