Question

设A为3阶方阵， λ1， λ2， λ3是A的三个不同特征值，对应特征向量分别为α1，α2，α3，

令β =α1+α2+α3
（1）证明β，Aβ,A^2β线性无关
（2）若A^3β=3Aβ-2A^2β，求A的特征值，并计算行列式∣A+E∣
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Answer 1

假设xβ+yAβ+zA^2β=0

x（α1+α2+α3）+y（λ1α1+λ2α2+λ3α3）+z（λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3）=0。

因为α1，α2，α3分属不同特征值，所以线性无关，所以x+λ1y+λ1^2z=0。

此齐次方程组系数行列式为范德蒙行列式，且λ1， λ2， λ3互不相同，因而不为0，从而方程组只有零解，即有x=y=z=0。

故β，Aβ，A^2β线性无关。

第一性质

线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。

特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。

特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。

线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。

特征值的几何重次是相应特征空间的维数。

Answer 2

（1）假设xβ+yAβ+zA^2β=0
即x（α1+α2+α3）+y（λ1α1+λ2α2+λ3α3）+z（λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3）=0
(x+λ1y+λ1^2z)α1+(x+λ2y+λ2^2z)α2+(x+λ3y+λ3^2z)α3=0
因为α1，α2，α3分属不同特征值，所以线性无关，所以
x+λ1y+λ1^2z=0
x+λ2y+λ2^2z=0
x+λ3y+λ3^2z=0
此齐次方程组系数行列式为范德蒙行列式，且λ1， λ2， λ3互不相同，因而不为0，从而方程组只有零解，即有x=y=z=0
故β，Aβ，A^2β线性无关。

（2）将Aβ=λ1α1+λ2α2+λ3α3，A^2β=λ1^2α1+λ2^2α2+λ3^2α3，A^3β=λ1^3α1+λ2^3α2+λ3^3α3代入等式，并结合α1，α2，α3线性无关可得：λi^3+2λi^2-3λi=0
解得λi=0或1或-3，此即为A的特征值
因为A一定相似于对角阵C，对角元素分别为0,1，-3，所以可设A=P^(-1)CP，
∣A+E∣=∣P^(-1)CP+P^(-1)EP∣=∣P^(-1)(C+E)P∣=∣C+E∣= 1*2*（-2）= -4

Answer 3

(1) 用定义，注意a1,a2,a3是线性无关的
(2)就是x^3+2x^2-3x=0.

追问

可不可以详细点，我有用 拜托