Question

一道关于极限的高数题

题目：
设x(n+1)=ln(1+xn) , x1＞0
第一个问题：求lim(n趋于正无穷)xn
第二个问题：求lim(n趋于正无穷)[xn*x(n+1)]/[xn-x(n+1)]

解答过程：
第一问：[注意：x＞ln(x+1) (x＞0)]
于是 ， x(n+1)-xn=ln(1+xn)-xn＜0 （n=1,2,3, ……）
推出：xn单调减少有下界0
推出：存在极限
lin（x趋于正无穷）xn 记为 a （a ≥0）
推出： a=ln(1+a) (a>0时 a>ln(1+a))
推出：a=0

第二问：
原式=lim(n趋于正无穷) [xnln(1+xn)]/[xn-ln(1+xn)]
(数列极限转化为函数极限)lim(x趋于0) [xln(1+xn)]/[x-ln(1+x)]
=lim(x趋于0) x^2/[x-ln(1+x)]
=lim(x趋于0) 2x/[1-1/(1+x)]
=2

我的疑问：
第一：
为什么 [x＞ln(x+1) (x＞0)] 以及“xn单调减少有下界"
是通过 设函数做差求导 和 画图结合吗 x=0时差最小为0
第二：
a=ln(1+a) (a>0时 a>ln(1+a))
推出：a=0

这个地方没太理解好，能帮我解释下为啥能直接设a吗

第三个疑问：
数列转化为函数极限时：为什么范围由
lim(n趋于正无穷）变为lim(x趋于0)？？

不着急，希望好心人有空的时候回答一下吧，谢谢了

Answer 1

第一：
那个是通过作差求导做的，可以记住这个结论
设f(x)=x-ln(1+x) (x>0)
f'(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)>0
所以f(x)在(0，+∞)单调递增
f(x)>f(0)=0
所以x>ln(1+x)
然后用后一项减前一项x(n+1)-xn=ln(1+xn)-xn
它这里直接就说ln(1+xn)-xn<0了，可是小于0的条件是xn>0啊，它怎么没有证明呢？
我想还是要证明一下的，可以用数学归纳法
x1>0
假设当n=k时，xk>0
当n=k+1时，x(k+1)=ln(1+xk)>0
所以可以得出xn>0
那么就能推出x(n+1)-xn=ln(1+xn)-xn<0了
即x(n+1)<xn，就是说xn是单调递减的
又因为xn>0
所以说是有下界的

第二：
因为单调有界数列是有极限的，所以可以设lim(n→∞)xn=a
那么lim(n→∞)a(n+1)=lim(n→∞)an=a
又因为x(n+1)=ln(1+xn)
两边取极限lim(n→∞)x(n+1)=lim(n→∞)ln(1+xn)
所以a=ln(1+a)
刚刚证明函数f(x)=x-ln(1+x)在(0，+∞)上单调递增，也可以求出它在(-1，0)上单调递减
x=0是它的极小值点，又f(0)=0
所以呢，a=ln(1+a)只有一个解，就是a=0

第三：
当n→∞时，第一问已经求出xn→0
所以n→∞就相当于是xn→0
可以将xn作一个代换，换成x
lim(n→∞) [xnln(1+xn)]/[xn-ln(1+xn)]
=lim(x→0)[xln(1+x)]/[x-ln(1+x)]

Answer 2

第一：
为什么 [x＞ln(x+1) (x＞0)] 以及“xn单调减少有下界"

'
这个是个基本公式，x＞ln(x+1)，要证明有很多种方法，比如x>0时
f(x)=x-ln(x+1) f(0)=0 f'(x)=1-1/x+1>0 ∴f(x)>0
可以用泰勒展开e^x=1+x+x²/2+...两边ln一下

第二：
a=ln(1+a) (a>0时 a>ln(1+a))
推出：a=0
' an和an+1都趋向于一个值，假设为a

这个地方没太理解好，能帮我解释下为啥能直接设a吗

第三个疑问：
数列转化为函数极限时：为什么范围由
lim(n趋于正无穷）变为lim(x趋于0)？？

因为x=xn趋向于0啦