Question

一道高数极限题

lim(x->0) [ 根号 ( X^2 +1 ) -1] / x

= lim(x->0) [ 2X / ( 2 * 根号 (X^2+1) ) ] / 1

实在是不能理解这步是怎么过来的，求解

Answer 1

f(x) = √(x² +1) - 1 = √u - 1, 令u = x² +1, du/dx =2x
f '(x) = (1/2) u^(-1/2) * du/dx 复合函数求导
= (1/2) * (x² +1)^(-1/2) * 2x
= x /√(x² +1)

Answer 2

分子分母同时乘以(x²+1)^1/2 + 1

Answer 3

这一步是利用洛必达法则，对于未定式求极限，可对分子分母同时求导，不懂请查询相关书籍或继续追问。

追问

对分子求导的话

根号(X ^ 2 +1)-1 求导 ，1就没有了，根号就是1/2次方

所以是 1/2 * [ 1 / 根号（ X^2 +1 ) ]吧，不知道2X在分子上是怎么来的

追答

根号(X ^ 2 +1)，这是一个复合函数， 所以要在你求得的1/2 * [ 1 / 根号（ X^2 +1 ) ]基础上再乘以X ^ 2 +1的导数，也就是2x。
比如说sin2x的导数是cos2x再乘以2x的导数，也就是2cos2x。
若还有不懂，欢迎继续追问，或查阅复合函数求导法则相关书籍。