如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,则EC+ED的最小值是?
如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,则EC+ED的最小值是?,已知道是√5,希望有详细过程!O(∩_∩)O谢谢!...
如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,则EC+ED的最小值是?,已知道是√5,希望有详细过程!O(∩_∩)O谢谢!
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在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,则EC+ED的最小值是?
解:过D作DP⊥AB ,P为垂足;再将DP 延长一倍至F,使PF=DP;连接CF与AB相交于E,那么
这个位置就是使EC+ED最小的位置;此时:
EC+ED=EC+EF=CF=√[CD²+DF²-2CD×DFcos∠CDF]
其中,CD=1,DF=2DP=2DBcos45°=√2,cos∠CDF=cos135°=-cos45°=-√2/2,代入上式即得:(EC+ED)min=CF=√[1+2+2×1×(√2)×(√2)/2]=√(1+2+2)=√5
下面证明√5是EC+ED的最小值。
现在偏离所取的位置在AB上任找一点E′,连接CE′,DE′,FE′,按作图法,AB是DF的垂直平分线,故CE′+DE′=CE′+FE′>CF=√5(CE′E是三角形,三角形两边之和必大于第三边).
解:过D作DP⊥AB ,P为垂足;再将DP 延长一倍至F,使PF=DP;连接CF与AB相交于E,那么
这个位置就是使EC+ED最小的位置;此时:
EC+ED=EC+EF=CF=√[CD²+DF²-2CD×DFcos∠CDF]
其中,CD=1,DF=2DP=2DBcos45°=√2,cos∠CDF=cos135°=-cos45°=-√2/2,代入上式即得:(EC+ED)min=CF=√[1+2+2×1×(√2)×(√2)/2]=√(1+2+2)=√5
下面证明√5是EC+ED的最小值。
现在偏离所取的位置在AB上任找一点E′,连接CE′,DE′,FE′,按作图法,AB是DF的垂直平分线,故CE′+DE′=CE′+FE′>CF=√5(CE′E是三角形,三角形两边之和必大于第三边).
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解:作CW⊥AB于W,DP⊥AB于P。设EB=x,EC+ED的值为y.
∵△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90度,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,CW⊥AB于W,DP⊥AB于P。
∴Rt△ACB的以AB为底的高CW=为[sin(tan^-1AC/BC)]·CB=sin45°·2=√2=WB,又D是BC边的中点,CW‖DP,即Rt△CWB≌Rt△DPB,于是有CW/DP=CB/DB→√2/DP=1/2,得:DP=(√2)/2,即PB=DP=(√2)/2。又EB=x,EC+ED的值为y。
∴当0<x时,y=√[(WB-X)^2+CW^2]+√[(PB-X)^2+DP^2]=√(4-2√2x+x^2)+√(1-√2x+x^2)=√[(x-√2)^2+2]+√{[x-(√2)/2]^2+1/2}①
[那么x取何值时y最小?这就涉及将军引马的问题,此时我们应将CW关于AB作轴反射,得到WC`,连接C`E、ED,这就很明显了(因为在Rt△CWE与Rt△C`WE中有:C`W=CW,WE=WE,所以Rt△CWE≌(全等于)Rt△C`WE),要使EC+ED最小,即须使C`E、ED在同一条直线上(两点之间直线最短),再作C`E‖PZ,且C`E=PZ(C`E与PZ在AB同侧),(即有EC`ZP为平行四边形)连接C`Z(又∠AEC`=90°,即EC`ZP为矩形,即C`E、ED在同一直线上时有Rt△DZC`,且有EP‖C`Z),所以Rt△DZC`∽(相似于)Rt△DPE,即有ED/C`Z=DP/DZ=DP/(DP+PZ)=DP/(DP+CE),又ED=EA-PA=X-(√2)/2,C`Z=WP=√2,于是有[X-(√2)/2]/√2=(√2)/[(√2)/2+√2]→X=(5√2)/6,代入①中得:Y=(√74+√26)/6]
∴当x=(5√2)/6时,有EC+ED最小值,且为(√74+√26)/6]。(这里求EC+ED,最好是用图解法)
∵△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90度,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,CW⊥AB于W,DP⊥AB于P。
∴Rt△ACB的以AB为底的高CW=为[sin(tan^-1AC/BC)]·CB=sin45°·2=√2=WB,又D是BC边的中点,CW‖DP,即Rt△CWB≌Rt△DPB,于是有CW/DP=CB/DB→√2/DP=1/2,得:DP=(√2)/2,即PB=DP=(√2)/2。又EB=x,EC+ED的值为y。
∴当0<x时,y=√[(WB-X)^2+CW^2]+√[(PB-X)^2+DP^2]=√(4-2√2x+x^2)+√(1-√2x+x^2)=√[(x-√2)^2+2]+√{[x-(√2)/2]^2+1/2}①
[那么x取何值时y最小?这就涉及将军引马的问题,此时我们应将CW关于AB作轴反射,得到WC`,连接C`E、ED,这就很明显了(因为在Rt△CWE与Rt△C`WE中有:C`W=CW,WE=WE,所以Rt△CWE≌(全等于)Rt△C`WE),要使EC+ED最小,即须使C`E、ED在同一条直线上(两点之间直线最短),再作C`E‖PZ,且C`E=PZ(C`E与PZ在AB同侧),(即有EC`ZP为平行四边形)连接C`Z(又∠AEC`=90°,即EC`ZP为矩形,即C`E、ED在同一直线上时有Rt△DZC`,且有EP‖C`Z),所以Rt△DZC`∽(相似于)Rt△DPE,即有ED/C`Z=DP/DZ=DP/(DP+PZ)=DP/(DP+CE),又ED=EA-PA=X-(√2)/2,C`Z=WP=√2,于是有[X-(√2)/2]/√2=(√2)/[(√2)/2+√2]→X=(5√2)/6,代入①中得:Y=(√74+√26)/6]
∴当x=(5√2)/6时,有EC+ED最小值,且为(√74+√26)/6]。(这里求EC+ED,最好是用图解法)
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要求最短距离,在初中里无非是利用两点之间线段最短。而这要运用到轴对称。
做D关于AB对称于点E。所以CE=EC+ED的最小值
所以易得:三角形DBE是等腰直角三角形,三角形CBE是直角三角形。
又易得:DB=BE=1
CB=2
所以利用勾股定理得:CE=根号5
即:EC+ED的最小值=根号5
做D关于AB对称于点E。所以CE=EC+ED的最小值
所以易得:三角形DBE是等腰直角三角形,三角形CBE是直角三角形。
又易得:DB=BE=1
CB=2
所以利用勾股定理得:CE=根号5
即:EC+ED的最小值=根号5
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答:令点E在AB中点上。
由题意知:AC=CB,CE=CE,AE=BE.所以△ACE与△CEB全等。
所以∠AEC=∠CEB=90度,CE垂直于AB,所以当E为AB中点时CE为最短,为根号2,
因为AB =根号8 ,所以AE=AB=CE=1/2AB=根号2,
因为D为CB中点,所以ED垂直于CB ,ED=1
所以EC+ED=根号2+1
我算是根号2+1 两个数加一起怎么是根号5呢? 不懂?
由题意知:AC=CB,CE=CE,AE=BE.所以△ACE与△CEB全等。
所以∠AEC=∠CEB=90度,CE垂直于AB,所以当E为AB中点时CE为最短,为根号2,
因为AB =根号8 ,所以AE=AB=CE=1/2AB=根号2,
因为D为CB中点,所以ED垂直于CB ,ED=1
所以EC+ED=根号2+1
我算是根号2+1 两个数加一起怎么是根号5呢? 不懂?
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